3y^2-y-4=0 ઉકેલો

$$3 y ^ { 2 } - y - 4 = 0$$

y માટે ઉકેલો

$$y=-1$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 3y^{2}+ay+by-4 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-1 ab=3\left(-4\right)=-12$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, ઋણાત્મક સંખ્યામાં ઘનાત્મક કરતાં વધારે સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -12 આપે છે.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -1 આપે છે.

$$a=-4 b=3$$

3y^{2}-y-4 ને \left(3y^{2}-4y\right)+\left(3y-4\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(3y^{2}-4y\right)+\left(3y-4\right)$$

3y^{2}-4y માં y ના અવયવ પાડો.

$$y\left(3y-4\right)+3y-4$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ 3y-4 ના અવયવ પાડો.

$$\left(3y-4\right)\left(y+1\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, 3y-4=0 અને y+1=0 ઉકેલો.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$3y^{2}-y-4=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 3 ને, b માટે -1 ને, અને c માટે -4 ને બદલીને મૂકો.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

3 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

-4 ને -12 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 3}$$

48 માં 1 ઍડ કરો.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

49 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 3}$$

-1 નો વિરોધી 1 છે.

$$y=\frac{1±7}{2\times 3}$$

3 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{1±7}{6}$$

હવે y=\frac{1±7}{6} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 7 માં 1 ઍડ કરો.

$$y=\frac{8}{6}$$

2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{8}{6} ને ઘટાડો.

$$y=\frac{4}{3}$$

હવે y=\frac{1±7}{6} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 1 માંથી 7 ને ઘટાડો.

$$y=-\frac{6}{6}$$

-6 નો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-1$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}-y-4=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4 ઍડ કરો.

$$3y^{2}-y-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

સ્વયંમાંથી -4 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$3y^{2}-y=-\left(-4\right)$$

0 માંથી -4 ને ઘટાડો.

$$3y^{2}-y=4$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{3y^{2}-y}{3}=\frac{4}{3}$$

3 થી ભાગાકાર કરવાથી 3 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y=\frac{4}{3}$$

-\frac{1}{3}, x પદના ગુણાંકને, -\frac{1}{6} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{1}{6} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{1}{6} નો વર્ગ કાઢો.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{4}{3}+\frac{1}{36}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{1}{36} માં \frac{4}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{49}{36}$$

અવયવ y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

સરળ બનાવો.

$$y-\frac{1}{6}=\frac{7}{6} y-\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{1}{6} ઍડ કરો.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$