3y^2-11y+10=0 ઉકેલો

$$3 y ^ { 2 } - 11 y + 10 = 0$$

y માટે ઉકેલો

$$y=2$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 3y^{2}+ay+by+10 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-11 ab=3\times 10=30$$

ab ઘનાત્મક હોવાથી, a અને b સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, બંને a અને b ઋણાત્મક છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન 30 આપે છે.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -11 આપે છે.

$$a=-6 b=-5$$

3y^{2}-11y+10 ને \left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં 3y અને બીજા સમૂહમાં -5 ના અવયવ પાડો.

$$3y\left(y-2\right)-5\left(y-2\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ y-2 ના અવયવ પાડો.

$$\left(y-2\right)\left(3y-5\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, y-2=0 અને 3y-5=0 ઉકેલો.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 3 ને, b માટે -11 ને, અને c માટે 10 ને બદલીને મૂકો.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

વર્ગ -11.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

3 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\times 10}}{2\times 3}$$

10 ને -12 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2\times 3}$$

-120 માં 121 ઍડ કરો.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

1 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±1}{2\times 3}$$

-11 નો વિરોધી 11 છે.

$$y=\frac{11±1}{2\times 3}$$

3 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{11±1}{6}$$

હવે y=\frac{11±1}{6} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 1 માં 11 ઍડ કરો.

$$y=\frac{12}{6}$$

12 નો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=2$$

હવે y=\frac{11±1}{6} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 11 માંથી 1 ને ઘટાડો.

$$y=\frac{10}{6}$$

2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{10}{6} ને ઘટાડો.

$$y=\frac{5}{3}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 10 નો ઘટાડો કરો.

$$3y^{2}-11y+10-10=-10$$

સ્વયંમાંથી 10 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$3y^{2}-11y=-10$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{3y^{2}-11y}{3}=-\frac{10}{3}$$

3 થી ભાગાકાર કરવાથી 3 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{10}{3}$$

-\frac{11}{3}, x પદના ગુણાંકને, -\frac{11}{6} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{11}{6} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{11}{6} નો વર્ગ કાઢો.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{121}{36}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{121}{36} માં -\frac{10}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{1}{36}$$

અવયવ y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

સરળ બનાવો.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{1}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{1}{6}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{11}{6} ઍડ કરો.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$