3x-(k+1)y=20text{and}(k+2)x-10y=40 ઉકેલો

$$3 x - ( k + 1 ) y = 20 \text { and } ( k + 2 ) x - 10 y = 40$$

x, y માટે ઉકેલો (જટિલ સમાધાન)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{40}{k+7}\text{, }y=-\frac{20}{k+7}\text{, }&k\neq -7\\x=\frac{5\left(y+4\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&k=4\end{matrix}\right.$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. k+1 સાથે y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

ky+y નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$3x-ky-y=20$$

x,y નો સમાવેશ કરતા બધા પદોને એકસાથે કરો.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. k+2 સાથે x નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$kx+2x-10y=40$$

x,y નો સમાવેશ કરતા બધા પદોને એકસાથે કરો.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \left(k+1\right)y ઍડ કરો.

$$3x=\left(k+1\right)y+20$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(\left(k+1\right)y+20\right)$$

yk+y+20 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, \left(k+2\right)x-10y=40 માં x માટે \frac{yk+y+20}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\left(k+2\right)\left(\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}\right)-10y=40$$

\frac{yk+y+20}{3} ને k+2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}-10y=40$$

-10y માં \frac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}=40$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{40+20k}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y=\frac{80-20k}{3}$$

બન્ને બાજુનો \frac{\left(-4+k\right)\left(7+k\right)}{3} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}માં y માટે -\frac{20}{7+k} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{k+1}{3}\left(-\frac{20}{k+7}\right)+\frac{20}{3}$$

-\frac{20}{7+k} ને \frac{k+1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(k+7\right)}+\frac{20}{3}$$

-\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(7+k\right)} માં \frac{20}{3} ઍડ કરો.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. k+1 સાથે y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

ky+y નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$3x-ky-y=20$$

x,y નો સમાવેશ કરતા બધા પદોને એકસાથે કરો.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. k+2 સાથે x નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$kx+2x-10y=40$$

x,y નો સમાવેશ કરતા બધા પદોને એકસાથે કરો.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&-\frac{-k-1}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\\-\frac{k+2}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&\frac{3}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\\-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\\\left(-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{k+7}\\-\frac{20}{k+7}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. k+1 સાથે y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

ky+y નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$3x-ky-y=20$$

x,y નો સમાવેશ કરતા બધા પદોને એકસાથે કરો.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. k+2 સાથે x નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$kx+2x-10y=40$$

x,y નો સમાવેશ કરતા બધા પદોને એકસાથે કરો.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

3x અને \left(k+2\right)x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો k+2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$\left(k+2\right)\times 3x+\left(k+2\right)\left(-k-1\right)y=\left(k+2\right)\times 20,3\left(k+2\right)x+3\left(-10\right)y=3\times 40$$

સરળ બનાવો.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40,\left(3k+6\right)x-30y=120$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી \left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40માંથી \left(3k+6\right)x-30y=120 ને ઘટાડો.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-3k-6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

-6x-3xk માં 3\left(2+k\right)x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3\left(2+k\right)x અને -6x-3xk ને વિભાજિત કરો.

$$\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

30y માં -\left(k+2\right)\left(k+1\right)y ઍડ કરો.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k+40-120$$

-120 માં 20k+40 ઍડ કરો.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k-80$$

બન્ને બાજુનો \left(4-k\right)\left(7+k\right) થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

\left(k+2\right)x-10y=40માં y માટે -\frac{20}{7+k} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$\left(k+2\right)x-10\left(-\frac{20}{k+7}\right)=40$$

-\frac{20}{7+k} ને -10 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\left(k+2\right)x+\frac{200}{k+7}=40$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{200}{7+k} નો ઘટાડો કરો.

$$\left(k+2\right)x=\frac{40\left(k+2\right)}{k+7}$$

બન્ને બાજુનો k+2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

x, y માટે ઉકેલો

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{40}{k+7}\text{, }y=-\frac{20}{k+7}\text{, }&k\neq -7\text{ and }k\neq 4\\x=\frac{5\left(y+4\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&k=4\end{matrix}\right.$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. k+1 સાથે y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

ky+y નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$3x-ky-y=20$$

x,y નો સમાવેશ કરતા બધા પદોને એકસાથે કરો.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. k+2 સાથે x નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$kx+2x-10y=40$$

x,y નો સમાવેશ કરતા બધા પદોને એકસાથે કરો.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \left(k+1\right)y ઍડ કરો.

$$3x=\left(k+1\right)y+20$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(\left(k+1\right)y+20\right)$$

yk+y+20 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, \left(k+2\right)x-10y=40 માં x માટે \frac{yk+y+20}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\left(k+2\right)\left(\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}\right)-10y=40$$

\frac{yk+y+20}{3} ને k+2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}-10y=40$$

-10y માં \frac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}=40$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{40+20k}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y=\frac{80-20k}{3}$$

બન્ને બાજુનો \frac{\left(-4+k\right)\left(7+k\right)}{3} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}માં y માટે -\frac{20}{7+k} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{k+1}{3}\left(-\frac{20}{k+7}\right)+\frac{20}{3}$$

-\frac{20}{7+k} ને \frac{k+1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(k+7\right)}+\frac{20}{3}$$

-\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(7+k\right)} માં \frac{20}{3} ઍડ કરો.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. k+1 સાથે y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

ky+y નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$3x-ky-y=20$$

x,y નો સમાવેશ કરતા બધા પદોને એકસાથે કરો.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. k+2 સાથે x નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$kx+2x-10y=40$$

x,y નો સમાવેશ કરતા બધા પદોને એકસાથે કરો.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&-\frac{-k-1}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\\-\frac{k+2}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&\frac{3}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\\-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\\\left(-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{k+7}\\-\frac{20}{k+7}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. k+1 સાથે y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

ky+y નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$3x-ky-y=20$$

x,y નો સમાવેશ કરતા બધા પદોને એકસાથે કરો.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. k+2 સાથે x નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$kx+2x-10y=40$$

x,y નો સમાવેશ કરતા બધા પદોને એકસાથે કરો.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

3x અને \left(k+2\right)x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો k+2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$\left(k+2\right)\times 3x+\left(k+2\right)\left(-k-1\right)y=\left(k+2\right)\times 20,3\left(k+2\right)x+3\left(-10\right)y=3\times 40$$

સરળ બનાવો.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40,\left(3k+6\right)x-30y=120$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી \left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40માંથી \left(3k+6\right)x-30y=120 ને ઘટાડો.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-3k-6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

-6x-3xk માં 3\left(2+k\right)x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3\left(2+k\right)x અને -6x-3xk ને વિભાજિત કરો.

$$\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

30y માં -\left(k+2\right)\left(k+1\right)y ઍડ કરો.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k+40-120$$

-120 માં 20k+40 ઍડ કરો.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k-80$$

બન્ને બાજુનો \left(4-k\right)\left(7+k\right) થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

\left(k+2\right)x-10y=40માં y માટે -\frac{20}{7+k} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$\left(k+2\right)x-10\left(-\frac{20}{k+7}\right)=40$$

-\frac{20}{7+k} ને -10 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\left(k+2\right)x+\frac{200}{k+7}=40$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{200}{7+k} નો ઘટાડો કરો.

$$\left(k+2\right)x=\frac{40\left(k+2\right)}{k+7}$$

બન્ને બાજુનો k+2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$