3x^2-2x-16=0 ઉકેલો

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

x માટે ઉકેલો

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 3x^{2}+ax+bx-16 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, ઋણાત્મક સંખ્યામાં ઘનાત્મક કરતાં વધારે સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -48 આપે છે.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -2 આપે છે.

$$a=-8 b=6$$

3x^{2}-2x-16 ને \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં x અને બીજા સમૂહમાં 2 ના અવયવ પાડો.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ 3x-8 ના અવયવ પાડો.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, 3x-8=0 અને x+2=0 ઉકેલો.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 3 ને, b માટે -2 ને, અને c માટે -16 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

વર્ગ -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

3 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

-16 ને -12 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

192 માં 4 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

196 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

-2 નો વિરોધી 2 છે.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

3 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

હવે x=\frac{2±14}{6} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 14 માં 2 ઍડ કરો.

$$x=\frac{16}{6}$$

2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{16}{6} ને ઘટાડો.

$$x=\frac{8}{3}$$

હવે x=\frac{2±14}{6} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 2 માંથી 14 ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{12}{6}$$

-12 નો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-2$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 16 ઍડ કરો.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

સ્વયંમાંથી -16 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

0 માંથી -16 ને ઘટાડો.

$$3x^{2}-2x=16$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

3 થી ભાગાકાર કરવાથી 3 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

-\frac{2}{3}, x પદના ગુણાંકને, -\frac{1}{3} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{1}{3} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{1}{3} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{1}{9} માં \frac{16}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

અવયવ x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

સરળ બનાવો.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{1}{3} ઍડ કરો.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$