3x^2+8x-11=0 ઉકેલો

$$3 x ^ { 2 } + 8 x - 11 = 0$$

x માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$x=1$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 3x^{2}+ax+bx-11 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=8 ab=3\left(-11\right)=-33$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઘનાત્મક હોવાથી, ઘનાત્મક સંખ્યામાં ઋણાત્મક કરતાં વધુ સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -33 આપે છે.

$$-1,33 -3,11$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો 8 આપે છે.

$$a=-3 b=11$$

3x^{2}+8x-11 ને \left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં 3x અને બીજા સમૂહમાં 11 ના અવયવ પાડો.

$$3x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ x-1 ના અવયવ પાડો.

$$\left(x-1\right)\left(3x+11\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, x-1=0 અને 3x+11=0 ઉકેલો.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 3 ને, b માટે 8 ને, અને c માટે -11 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

વર્ગ 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

3 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

-11 ને -12 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+132}}{2\times 3}$$

132 માં 64 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-8±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

196 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-8±14}{2\times 3}$$

3 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-8±14}{6}$$

હવે x=\frac{-8±14}{6} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 14 માં -8 ઍડ કરો.

$$x=\frac{6}{6}$$

6 નો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=1$$

હવે x=\frac{-8±14}{6} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -8 માંથી 14 ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{22}{6}$$

2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-22}{6} ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{11}{3}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 11 ઍડ કરો.

$$3x^{2}+8x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

સ્વયંમાંથી -11 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$3x^{2}+8x=-\left(-11\right)$$

0 માંથી -11 ને ઘટાડો.

$$3x^{2}+8x=11$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{11}{3}$$

3 થી ભાગાકાર કરવાથી 3 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{11}{3}$$

\frac{8}{3}, x પદના ગુણાંકને, \frac{4}{3} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી \frac{4}{3} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને \frac{4}{3} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{11}{3}+\frac{16}{9}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{16}{9} માં \frac{11}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{9}$$

અવયવ x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

સરળ બનાવો.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{4}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$