3x^2+23x-8=0 ઉકેલો

$$3 x ^ { 2 } + 23 x - 8 = 0$$

x માટે ઉકેલો

$$x=-8$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 3x^{2}+ax+bx-8 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=23 ab=3\left(-8\right)=-24$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઘનાત્મક હોવાથી, ઘનાત્મક સંખ્યામાં ઋણાત્મક કરતાં વધુ સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -24 આપે છે.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો 23 આપે છે.

$$a=-1 b=24$$

3x^{2}+23x-8 ને \left(3x^{2}-x\right)+\left(24x-8\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(24x-8\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં x અને બીજા સમૂહમાં 8 ના અવયવ પાડો.

$$x\left(3x-1\right)+8\left(3x-1\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ 3x-1 ના અવયવ પાડો.

$$\left(3x-1\right)\left(x+8\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, 3x-1=0 અને x+8=0 ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$3x^{2}+23x-8=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 3 ને, b માટે 23 ને, અને c માટે -8 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

વર્ગ 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

3 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

-8 ને -12 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+96}}{2\times 3}$$

96 માં 529 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-23±\sqrt{625}}{2\times 3}$$

625 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-23±25}{2\times 3}$$

3 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-23±25}{6}$$

હવે x=\frac{-23±25}{6} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 25 માં -23 ઍડ કરો.

$$x=\frac{2}{6}$$

2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{2}{6} ને ઘટાડો.

$$x=\frac{1}{3}$$

હવે x=\frac{-23±25}{6} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -23 માંથી 25 ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{48}{6}$$

-48 નો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-8$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+23x-8=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 8 ઍડ કરો.

$$3x^{2}+23x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

સ્વયંમાંથી -8 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$3x^{2}+23x=-\left(-8\right)$$

0 માંથી -8 ને ઘટાડો.

$$3x^{2}+23x=8$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{3x^{2}+23x}{3}=\frac{8}{3}$$

3 થી ભાગાકાર કરવાથી 3 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x=\frac{8}{3}$$

\frac{23}{3}, x પદના ગુણાંકને, \frac{23}{6} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી \frac{23}{6} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\left(\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{23}{6}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને \frac{23}{6} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{8}{3}+\frac{529}{36}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{529}{36} માં \frac{8}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{625}{36}$$

અવયવ x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(x+\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{625}{36}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{36}}$$

સરળ બનાવો.

$$x+\frac{23}{6}=\frac{25}{6} x+\frac{23}{6}=-\frac{25}{6}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{23}{6} નો ઘટાડો કરો.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$