3x^2+16x-35=0 ઉકેલો

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 35 = 0$$

x માટે ઉકેલો

$$x=-7$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 3x^{2}+ax+bx-35 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=16 ab=3\left(-35\right)=-105$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઘનાત્મક હોવાથી, ઘનાત્મક સંખ્યામાં ઋણાત્મક કરતાં વધુ સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -105 આપે છે.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો 16 આપે છે.

$$a=-5 b=21$$

3x^{2}+16x-35 ને \left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં x અને બીજા સમૂહમાં 7 ના અવયવ પાડો.

$$x\left(3x-5\right)+7\left(3x-5\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ 3x-5 ના અવયવ પાડો.

$$\left(3x-5\right)\left(x+7\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, 3x-5=0 અને x+7=0 ઉકેલો.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 3 ને, b માટે 16 ને, અને c માટે -35 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

વર્ગ 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

3 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

-35 ને -12 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+420}}{2\times 3}$$

420 માં 256 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-16±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

676 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-16±26}{2\times 3}$$

3 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-16±26}{6}$$

હવે x=\frac{-16±26}{6} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 26 માં -16 ઍડ કરો.

$$x=\frac{10}{6}$$

2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{10}{6} ને ઘટાડો.

$$x=\frac{5}{3}$$

હવે x=\frac{-16±26}{6} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -16 માંથી 26 ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{42}{6}$$

-42 નો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-7$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 35 ઍડ કરો.

$$3x^{2}+16x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

સ્વયંમાંથી -35 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$3x^{2}+16x=-\left(-35\right)$$

0 માંથી -35 ને ઘટાડો.

$$3x^{2}+16x=35$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{35}{3}$$

3 થી ભાગાકાર કરવાથી 3 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{35}{3}$$

\frac{16}{3}, x પદના ગુણાંકને, \frac{8}{3} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી \frac{8}{3} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{35}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને \frac{8}{3} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{35}{3}+\frac{64}{9}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{64}{9} માં \frac{35}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{169}{9}$$

અવયવ x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

સરળ બનાવો.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{13}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{13}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{8}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$