3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0 ઉકેલો

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-5$$

$$y=-1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 6y ઘટાડો.

$$3x+9-6y=0$$

બન્ને બાજુથી 9 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$3x-6y=-9$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 12 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$-2x-2y=12$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x-6y=-9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 6y ઍડ કરો.

$$3x=6y-9$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

6y-9 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=2y-3$$

અન્ય સમીકરણ, -2x-2y=12 માં x માટે 2y-3 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

2y-3 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-4y+6-2y=12$$

-2y માં -4y ઍડ કરો.

$$-6y+6=12$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6 નો ઘટાડો કરો.

$$-6y=6$$

બન્ને બાજુનો -6 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-1$$

x=2y-3માં y માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

-1 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-2-3$$

-2 માં -3 ઍડ કરો.

$$x=-5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-5,y=-1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 6y ઘટાડો.

$$3x+9-6y=0$$

બન્ને બાજુથી 9 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$3x-6y=-9$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 12 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$-2x-2y=12$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-5,y=-1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 6y ઘટાડો.

$$3x+9-6y=0$$

બન્ને બાજુથી 9 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$3x-6y=-9$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 12 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$-2x-2y=12$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

3x અને -2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

સરળ બનાવો.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -6x+12y=18માંથી -6x-6y=36 ને ઘટાડો.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

6x માં -6x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -6x અને 6x ને વિભાજિત કરો.

$$12y+6y=18-36$$

6y માં 12y ઍડ કરો.

$$18y=18-36$$

-36 માં 18 ઍડ કરો.

$$18y=-18$$

બન્ને બાજુનો 18 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-1$$

-2x-2y=12માં y માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

-1 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-2x+2=12$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2 નો ઘટાડો કરો.

$$-2x=10$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-5,y=-1$$