3n^2+10n=8 ઉકેલો

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

n માટે ઉકેલો

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

બન્ને બાજુથી 8 ઘટાડો.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 3n^{2}+an+bn-8 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઘનાત્મક હોવાથી, ઘનાત્મક સંખ્યામાં ઋણાત્મક કરતાં વધુ સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -24 આપે છે.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો 10 આપે છે.

$$a=-2 b=12$$

3n^{2}+10n-8 ને \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં n અને બીજા સમૂહમાં 4 ના અવયવ પાડો.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ 3n-2 ના અવયવ પાડો.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, 3n-2=0 અને n+4=0 ઉકેલો.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$3n^{2}+10n=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 8 નો ઘટાડો કરો.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

સ્વયંમાંથી 8 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 3 ને, b માટે 10 ને, અને c માટે -8 ને બદલીને મૂકો.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

વર્ગ 10.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

3 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

-8 ને -12 વાર ગુણાકાર કરો.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

96 માં 100 ઍડ કરો.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

196 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

3 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

હવે n=\frac{-10±14}{6} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 14 માં -10 ઍડ કરો.

$$n=\frac{4}{6}$$

2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{4}{6} ને ઘટાડો.

$$n=\frac{2}{3}$$

હવે n=\frac{-10±14}{6} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -10 માંથી 14 ને ઘટાડો.

$$n=-\frac{24}{6}$$

-24 નો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$n=-4$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+10n=8$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

3 થી ભાગાકાર કરવાથી 3 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

\frac{10}{3}, x પદના ગુણાંકને, \frac{5}{3} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી \frac{5}{3} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને \frac{5}{3} નો વર્ગ કાઢો.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{25}{9} માં \frac{8}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

અવયવ n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

સરળ બનાવો.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{5}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$