3x^2-31x-60=0 ઉકેલો

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

x માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=12$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 3x^{2}+ax+bx-60 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, ઋણાત્મક સંખ્યામાં ઘનાત્મક કરતાં વધારે સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -180 આપે છે.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -31 આપે છે.

$$a=-36 b=5$$

3x^{2}-31x-60 ને \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં 3x અને બીજા સમૂહમાં 5 ના અવયવ પાડો.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ x-12 ના અવયવ પાડો.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, x-12=0 અને 3x+5=0 ઉકેલો.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 3 ને, b માટે -31 ને, અને c માટે -60 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

વર્ગ -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

3 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-60 ને -12 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

720 માં 961 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

1681 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

-31 નો વિરોધી 31 છે.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

3 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

હવે x=\frac{31±41}{6} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 41 માં 31 ઍડ કરો.

$$x=\frac{72}{6}$$

72 નો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=12$$

હવે x=\frac{31±41}{6} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 31 માંથી 41 ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{10}{6}$$

2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-10}{6} ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{5}{3}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 60 ઍડ કરો.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

સ્વયંમાંથી -60 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

0 માંથી -60 ને ઘટાડો.

$$3x^{2}-31x=60$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

3 થી ભાગાકાર કરવાથી 3 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

60 નો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

-\frac{31}{3}, x પદના ગુણાંકને, -\frac{31}{6} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{31}{6} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{31}{6} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

\frac{961}{36} માં 20 ઍડ કરો.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

અવયવ x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

સરળ બનાવો.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{31}{6} ઍડ કરો.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$