25y^2-54y-63=0 ઉકેલો

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

y માટે ઉકેલો

$$y=-\frac{21}{25}=-0.84$$

$$y=3$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 25y^{2}+ay+by-63 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, ઋણાત્મક સંખ્યામાં ઘનાત્મક કરતાં વધારે સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -1575 આપે છે.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -54 આપે છે.

$$a=-75 b=21$$

25y^{2}-54y-63 ને \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં 25y અને બીજા સમૂહમાં 21 ના અવયવ પાડો.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ y-3 ના અવયવ પાડો.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, y-3=0 અને 25y+21=0 ઉકેલો.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 25 ને, b માટે -54 ને, અને c માટે -63 ને બદલીને મૂકો.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

વર્ગ -54.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

25 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

-63 ને -100 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

6300 માં 2916 ઍડ કરો.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

9216 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

-54 નો વિરોધી 54 છે.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

25 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

હવે y=\frac{54±96}{50} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 96 માં 54 ઍડ કરો.

$$y=\frac{150}{50}$$

150 નો 50 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=3$$

હવે y=\frac{54±96}{50} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 54 માંથી 96 ને ઘટાડો.

$$y=-\frac{42}{50}$$

2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-42}{50} ને ઘટાડો.

$$y=-\frac{21}{25}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 63 ઍડ કરો.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

સ્વયંમાંથી -63 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

0 માંથી -63 ને ઘટાડો.

$$25y^{2}-54y=63$$

બન્ને બાજુનો 25 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

25 થી ભાગાકાર કરવાથી 25 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

-\frac{54}{25}, x પદના ગુણાંકને, -\frac{27}{25} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{27}{25} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{27}{25} નો વર્ગ કાઢો.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{729}{625} માં \frac{63}{25} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

અવયવ y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

સરળ બનાવો.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{27}{25} ઍડ કરો.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$