24x^2-65x+21=0 ઉકેલો

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

x માટે ઉકેલો

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 24x^{2}+ax+bx+21 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

ab ઘનાત્મક હોવાથી, a અને b સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, બંને a અને b ઋણાત્મક છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન 504 આપે છે.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -65 આપે છે.

$$a=-56 b=-9$$

24x^{2}-65x+21 ને \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં 8x અને બીજા સમૂહમાં -3 ના અવયવ પાડો.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ 3x-7 ના અવયવ પાડો.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, 3x-7=0 અને 8x-3=0 ઉકેલો.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 24 ને, b માટે -65 ને, અને c માટે 21 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

વર્ગ -65.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

24 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

21 ને -96 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

-2016 માં 4225 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

2209 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

-65 નો વિરોધી 65 છે.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

24 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

હવે x=\frac{65±47}{48} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 47 માં 65 ઍડ કરો.

$$x=\frac{112}{48}$$

16 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{112}{48} ને ઘટાડો.

$$x=\frac{7}{3}$$

હવે x=\frac{65±47}{48} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 65 માંથી 47 ને ઘટાડો.

$$x=\frac{18}{48}$$

6 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{18}{48} ને ઘટાડો.

$$x=\frac{3}{8}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 21 નો ઘટાડો કરો.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

સ્વયંમાંથી 21 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$24x^{2}-65x=-21$$

બન્ને બાજુનો 24 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

24 થી ભાગાકાર કરવાથી 24 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

3 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-21}{24} ને ઘટાડો.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

-\frac{65}{24}, x પદના ગુણાંકને, -\frac{65}{48} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{65}{48} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{65}{48} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{4225}{2304} માં -\frac{7}{8} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

અવયવ x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

સરળ બનાવો.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{65}{48} ઍડ કરો.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$