20x^2-x-1=0 ઉકેલો

$$20 { x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

x માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 20x^{2}+ax+bx-1 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, ઋણાત્મક સંખ્યામાં ઘનાત્મક કરતાં વધારે સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -20 આપે છે.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -1 આપે છે.

$$a=-5 b=4$$

20x^{2}-x-1 ને \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

20x^{2}-5x માં 5x ના અવયવ પાડો.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ 4x-1 ના અવયવ પાડો.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, 4x-1=0 અને 5x+1=0 ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$20x^{2}-x-1=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 20 ને, b માટે -1 ને, અને c માટે -1 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

20 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

-1 ને -80 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

80 માં 1 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

81 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

-1 નો વિરોધી 1 છે.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

20 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

હવે x=\frac{1±9}{40} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 9 માં 1 ઍડ કરો.

$$x=\frac{10}{40}$$

10 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{10}{40} ને ઘટાડો.

$$x=\frac{1}{4}$$

હવે x=\frac{1±9}{40} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 1 માંથી 9 ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{8}{40}$$

8 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-8}{40} ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{1}{5}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 1 ઍડ કરો.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

સ્વયંમાંથી -1 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

0 માંથી -1 ને ઘટાડો.

$$20x^{2}-x=1$$

બન્ને બાજુનો 20 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

20 થી ભાગાકાર કરવાથી 20 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

-\frac{1}{20}, x પદના ગુણાંકને, -\frac{1}{40} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{1}{40} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{1}{40} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{1}{1600} માં \frac{1}{20} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

અવયવ x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

સરળ બનાવો.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{1}{40} ઍડ કરો.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$