2y^2+y-21=0 ઉકેલો

$$2 y ^ { 2 } + y - 21 = 0$$

y માટે ઉકેલો

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$y=3$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 2y^{2}+ay+by-21 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=1 ab=2\left(-21\right)=-42$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઘનાત્મક હોવાથી, ઘનાત્મક સંખ્યામાં ઋણાત્મક કરતાં વધુ સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -42 આપે છે.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો 1 આપે છે.

$$a=-6 b=7$$

2y^{2}+y-21 ને \left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં 2y અને બીજા સમૂહમાં 7 ના અવયવ પાડો.

$$2y\left(y-3\right)+7\left(y-3\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ y-3 ના અવયવ પાડો.

$$\left(y-3\right)\left(2y+7\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, y-3=0 અને 2y+7=0 ઉકેલો.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$2y^{2}+y-21=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 2 ને, b માટે 1 ને, અને c માટે -21 ને બદલીને મૂકો.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

વર્ગ 1.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

2 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

-21 ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 2}$$

168 માં 1 ઍડ કરો.

$$y=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

169 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$y=\frac{-1±13}{2\times 2}$$

2 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-1±13}{4}$$

હવે y=\frac{-1±13}{4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 13 માં -1 ઍડ કરો.

$$y=\frac{12}{4}$$

12 નો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=3$$

હવે y=\frac{-1±13}{4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -1 માંથી 13 ને ઘટાડો.

$$y=-\frac{14}{4}$$

2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-14}{4} ને ઘટાડો.

$$y=-\frac{7}{2}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}+y-21=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 21 ઍડ કરો.

$$2y^{2}+y-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

સ્વયંમાંથી -21 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$2y^{2}+y=-\left(-21\right)$$

0 માંથી -21 ને ઘટાડો.

$$2y^{2}+y=21$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{2y^{2}+y}{2}=\frac{21}{2}$$

2 થી ભાગાકાર કરવાથી 2 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y=\frac{21}{2}$$

\frac{1}{2}, x પદના ગુણાંકને, \frac{1}{4} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી \frac{1}{4} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{21}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને \frac{1}{4} નો વર્ગ કાઢો.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{21}{2}+\frac{1}{16}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{1}{16} માં \frac{21}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{169}{16}$$

અવયવ y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

સરળ બનાવો.

$$y+\frac{1}{4}=\frac{13}{4} y+\frac{1}{4}=-\frac{13}{4}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{1}{4} નો ઘટાડો કરો.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$