2x^2+3x-90=0 ઉકેલો

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

x માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$x=6$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 2x^{2}+ax+bx-90 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઘનાત્મક હોવાથી, ઘનાત્મક સંખ્યામાં ઋણાત્મક કરતાં વધુ સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -180 આપે છે.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો 3 આપે છે.

$$a=-12 b=15$$

2x^{2}+3x-90 ને \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં 2x અને બીજા સમૂહમાં 15 ના અવયવ પાડો.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ x-6 ના અવયવ પાડો.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, x-6=0 અને 2x+15=0 ઉકેલો.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 2 ને, b માટે 3 ને, અને c માટે -90 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

વર્ગ 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

2 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

-90 ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

720 માં 9 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

729 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

2 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

હવે x=\frac{-3±27}{4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 27 માં -3 ઍડ કરો.

$$x=\frac{24}{4}$$

24 નો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=6$$

હવે x=\frac{-3±27}{4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -3 માંથી 27 ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{30}{4}$$

2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-30}{4} ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{15}{2}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 90 ઍડ કરો.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

સ્વયંમાંથી -90 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

0 માંથી -90 ને ઘટાડો.

$$2x^{2}+3x=90$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

2 થી ભાગાકાર કરવાથી 2 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

90 નો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

\frac{3}{2}, x પદના ગુણાંકને, \frac{3}{4} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી \frac{3}{4} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને \frac{3}{4} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

\frac{9}{16} માં 45 ઍડ કરો.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

અવયવ x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

સરળ બનાવો.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{3}{4} નો ઘટાડો કરો.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$