2k^2+9k=-7 ઉકેલો

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

k માટે ઉકેલો

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$k=-1$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

બંને સાઇડ્સ માટે 7 ઍડ કરો.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 2k^{2}+ak+bk+7 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

ab ઘનાત્મક હોવાથી, a અને b સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઘનાત્મક હોવાથી, બંને a અને b ઘનાત્મક છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન 14 આપે છે.

$$1,14 2,7$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$1+14=15 2+7=9$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો 9 આપે છે.

$$a=2 b=7$$

2k^{2}+9k+7 ને \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં 2k અને બીજા સમૂહમાં 7 ના અવયવ પાડો.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ k+1 ના અવયવ પાડો.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, k+1=0 અને 2k+7=0 ઉકેલો.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$2k^{2}+9k=-7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 7 ઍડ કરો.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

સ્વયંમાંથી -7 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

0 માંથી -7 ને ઘટાડો.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 2 ને, b માટે 9 ને, અને c માટે 7 ને બદલીને મૂકો.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

વર્ગ 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

2 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

7 ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

-56 માં 81 ઍડ કરો.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

25 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

2 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

હવે k=\frac{-9±5}{4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 5 માં -9 ઍડ કરો.

$$k=-\frac{4}{4}$$

-4 નો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$k=-1$$

હવે k=\frac{-9±5}{4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -9 માંથી 5 ને ઘટાડો.

$$k=-\frac{14}{4}$$

2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-14}{4} ને ઘટાડો.

$$k=-\frac{7}{2}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

2 થી ભાગાકાર કરવાથી 2 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

\frac{9}{2}, x પદના ગુણાંકને, \frac{9}{4} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી \frac{9}{4} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને \frac{9}{4} નો વર્ગ કાઢો.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{81}{16} માં -\frac{7}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

અવયવ k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

સરળ બનાવો.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{9}{4} નો ઘટાડો કરો.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$