2x^2-11x-40=0 ઉકેલો

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

x માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 2x^{2}+ax+bx-40 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, ઋણાત્મક સંખ્યામાં ઘનાત્મક કરતાં વધારે સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -80 આપે છે.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -11 આપે છે.

$$a=-16 b=5$$

2x^{2}-11x-40 ને \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં 2x અને બીજા સમૂહમાં 5 ના અવયવ પાડો.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ x-8 ના અવયવ પાડો.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, x-8=0 અને 2x+5=0 ઉકેલો.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 2 ને, b માટે -11 ને, અને c માટે -40 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

વર્ગ -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

2 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-40 ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

320 માં 121 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

441 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

-11 નો વિરોધી 11 છે.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

2 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

હવે x=\frac{11±21}{4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 21 માં 11 ઍડ કરો.

$$x=\frac{32}{4}$$

32 નો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=8$$

હવે x=\frac{11±21}{4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 11 માંથી 21 ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{10}{4}$$

2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-10}{4} ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{5}{2}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 40 ઍડ કરો.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

સ્વયંમાંથી -40 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

0 માંથી -40 ને ઘટાડો.

$$2x^{2}-11x=40$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

2 થી ભાગાકાર કરવાથી 2 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

40 નો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

-\frac{11}{2}, x પદના ગુણાંકને, -\frac{11}{4} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{11}{4} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{11}{4} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

\frac{121}{16} માં 20 ઍડ કરો.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

અવયવ x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

સરળ બનાવો.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{11}{4} ઍડ કરો.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$