15x^2+11x+2=0 ઉકેલો

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

x માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 15x^{2}+ax+bx+2 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

ab ઘનાત્મક હોવાથી, a અને b સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઘનાત્મક હોવાથી, બંને a અને b ઘનાત્મક છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન 30 આપે છે.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો 11 આપે છે.

$$a=5 b=6$$

15x^{2}+11x+2 ને \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં 5x અને બીજા સમૂહમાં 2 ના અવયવ પાડો.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ 3x+1 ના અવયવ પાડો.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, 3x+1=0 અને 5x+2=0 ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 15 ને, b માટે 11 ને, અને c માટે 2 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

વર્ગ 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

15 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

2 ને -60 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

-120 માં 121 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

1 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

15 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

હવે x=\frac{-11±1}{30} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 1 માં -11 ઍડ કરો.

$$x=-\frac{10}{30}$$

10 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-10}{30} ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{1}{3}$$

હવે x=\frac{-11±1}{30} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -11 માંથી 1 ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{12}{30}$$

6 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-12}{30} ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{2}{5}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2 નો ઘટાડો કરો.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

સ્વયંમાંથી 2 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$15x^{2}+11x=-2$$

બન્ને બાજુનો 15 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

15 થી ભાગાકાર કરવાથી 15 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

\frac{11}{15}, x પદના ગુણાંકને, \frac{11}{30} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી \frac{11}{30} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને \frac{11}{30} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{121}{900} માં -\frac{2}{15} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900} અવયવ. સામાન્યમાં, જ્યારે x^{2}+bx+c સંપૂર્ણ વર્ગ હોય ત્યારે, એને હંમેશા \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે અવયવ કરી શકાય.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

સરળ બનાવો.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{11}{30} નો ઘટાડો કરો.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$