15x^2+4x-4=0 ઉકેલો

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

x માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 15x^{2}+ax+bx-4 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઘનાત્મક હોવાથી, ઘનાત્મક સંખ્યામાં ઋણાત્મક કરતાં વધુ સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -60 આપે છે.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો 4 આપે છે.

$$a=-6 b=10$$

15x^{2}+4x-4 ને \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં 3x અને બીજા સમૂહમાં 2 ના અવયવ પાડો.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ 5x-2 ના અવયવ પાડો.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, 5x-2=0 અને 3x+2=0 ઉકેલો.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 15 ને, b માટે 4 ને, અને c માટે -4 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

વર્ગ 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

15 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

-4 ને -60 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

240 માં 16 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

256 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

15 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

હવે x=\frac{-4±16}{30} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 16 માં -4 ઍડ કરો.

$$x=\frac{12}{30}$$

6 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{12}{30} ને ઘટાડો.

$$x=\frac{2}{5}$$

હવે x=\frac{-4±16}{30} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -4 માંથી 16 ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{20}{30}$$

10 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-20}{30} ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{2}{3}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4 ઍડ કરો.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

સ્વયંમાંથી -4 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

0 માંથી -4 ને ઘટાડો.

$$15x^{2}+4x=4$$

બન્ને બાજુનો 15 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

15 થી ભાગાકાર કરવાથી 15 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

\frac{4}{15}, x પદના ગુણાંકને, \frac{2}{15} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી \frac{2}{15} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને \frac{2}{15} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{4}{225} માં \frac{4}{15} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

અવયવ x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

સરળ બનાવો.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{2}{15} નો ઘટાડો કરો.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$