120x^2+8000x-92000=0 ઉકેલો

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

x માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76.666666667$$

$$x=10$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

બન્ને બાજુનો 40 થી ભાગાકાર કરો.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 3x^{2}+ax+bx-2300 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઘનાત્મક હોવાથી, ઘનાત્મક સંખ્યામાં ઋણાત્મક કરતાં વધુ સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -6900 આપે છે.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો 200 આપે છે.

$$a=-30 b=230$$

3x^{2}+200x-2300 ને \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં 3x અને બીજા સમૂહમાં 230 ના અવયવ પાડો.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ x-10 ના અવયવ પાડો.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, x-10=0 અને 3x+230=0 ઉકેલો.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 120 ને, b માટે 8000 ને, અને c માટે -92000 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

વર્ગ 8000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

120 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

-92000 ને -480 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

44160000 માં 64000000 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

108160000 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

120 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

હવે x=\frac{-8000±10400}{240} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 10400 માં -8000 ઍડ કરો.

$$x=\frac{2400}{240}$$

2400 નો 240 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=10$$

હવે x=\frac{-8000±10400}{240} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -8000 માંથી 10400 ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

80 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-18400}{240} ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{230}{3}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 92000 ઍડ કરો.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

સ્વયંમાંથી -92000 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

0 માંથી -92000 ને ઘટાડો.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

બન્ને બાજુનો 120 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

120 થી ભાગાકાર કરવાથી 120 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

40 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{8000}{120} ને ઘટાડો.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

40 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{92000}{120} ને ઘટાડો.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

\frac{200}{3}, x પદના ગુણાંકને, \frac{100}{3} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી \frac{100}{3} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને \frac{100}{3} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{10000}{9} માં \frac{2300}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

અવયવ x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

સરળ બનાવો.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{100}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$