12y^2-16y+5=0 ઉકેલો

$$12 y ^ { 2 } - 16 y + 5 = 0$$

y માટે ઉકેલો

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 12y^{2}+ay+by+5 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-16 ab=12\times 5=60$$

ab ઘનાત્મક હોવાથી, a અને b સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, બંને a અને b ઋણાત્મક છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન 60 આપે છે.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -16 આપે છે.

$$a=-10 b=-6$$

12y^{2}-16y+5 ને \left(12y^{2}-10y\right)+\left(-6y+5\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(12y^{2}-10y\right)+\left(-6y+5\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં 2y અને બીજા સમૂહમાં -1 ના અવયવ પાડો.

$$2y\left(6y-5\right)-\left(6y-5\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ 6y-5 ના અવયવ પાડો.

$$\left(6y-5\right)\left(2y-1\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, 6y-5=0 અને 2y-1=0 ઉકેલો.

$$y=\frac{5}{6} y=\frac{1}{2}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$12y^{2}-16y+5=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 12 ને, b માટે -16 ને, અને c માટે 5 ને બદલીને મૂકો.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

વર્ગ -16.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

12 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-48\times 5}}{2\times 12}$$

5 ને -48 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-240}}{2\times 12}$$

-240 માં 256 ઍડ કરો.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{16}}{2\times 12}$$

16 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±4}{2\times 12}$$

-16 નો વિરોધી 16 છે.

$$y=\frac{16±4}{2\times 12}$$

12 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{16±4}{24}$$

હવે y=\frac{16±4}{24} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 4 માં 16 ઍડ કરો.

$$y=\frac{20}{24}$$

4 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{20}{24} ને ઘટાડો.

$$y=\frac{5}{6}$$

હવે y=\frac{16±4}{24} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 16 માંથી 4 ને ઘટાડો.

$$y=\frac{12}{24}$$

12 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{12}{24} ને ઘટાડો.

$$y=\frac{1}{2}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$y=\frac{5}{6} y=\frac{1}{2}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$12y^{2}-16y+5=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5 નો ઘટાડો કરો.

$$12y^{2}-16y+5-5=-5$$

સ્વયંમાંથી 5 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$12y^{2}-16y=-5$$

બન્ને બાજુનો 12 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{12y^{2}-16y}{12}=-\frac{5}{12}$$

12 થી ભાગાકાર કરવાથી 12 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$y^{2}+\left(-\frac{16}{12}\right)y=-\frac{5}{12}$$

4 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-16}{12} ને ઘટાડો.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{5}{12}$$

-\frac{4}{3}, x પદના ગુણાંકને, -\frac{2}{3} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{2}{3} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{2}{3} નો વર્ગ કાઢો.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{4}{9}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{4}{9} માં -\frac{5}{12} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{1}{36}$$

અવયવ y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

સરળ બનાવો.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{1}{6} y-\frac{2}{3}=-\frac{1}{6}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{2}{3} ઍડ કરો.

$$y=\frac{5}{6} y=\frac{1}{2}$$