11y=3y^2-4 ઉકેલો

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

y માટે ઉકેલો

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

બન્ને બાજુથી 3y^{2} ઘટાડો.

$$11y-3y^{2}=-4$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4 ઍડ કરો.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

તેને માનક ફૉર્મમાં મૂકવા માટે બહુપદી ફરી ગોઠવો. પદોને સૌથી વધુથી સૌથી ઓછા ઘાત ક્રમમાં ગોઠવો.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની -3y^{2}+ay+by+4 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઘનાત્મક હોવાથી, ઘનાત્મક સંખ્યામાં ઋણાત્મક કરતાં વધુ સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -12 આપે છે.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો 11 આપે છે.

$$a=12 b=-1$$

-3y^{2}+11y+4 ને \left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

-3y^{2}+12y માં 3y ના અવયવ પાડો.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ -y+4 ના અવયવ પાડો.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, -y+4=0 અને 3y+1=0 ઉકેલો.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બન્ને બાજુથી 3y^{2} ઘટાડો.

$$11y-3y^{2}=-4$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4 ઍડ કરો.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે -3 ને, b માટે 11 ને, અને c માટે 4 ને બદલીને મૂકો.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

વર્ગ 11.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

-3 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

4 ને 12 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

48 માં 121 ઍડ કરો.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

169 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

-3 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

હવે y=\frac{-11±13}{-6} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 13 માં -11 ઍડ કરો.

$$y=\frac{2}{-6}$$

2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{2}{-6} ને ઘટાડો.

$$y=-\frac{1}{3}$$

હવે y=\frac{-11±13}{-6} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -11 માંથી 13 ને ઘટાડો.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

-24 નો -6 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=4$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

બન્ને બાજુથી 3y^{2} ઘટાડો.

$$11y-3y^{2}=-4$$

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

-3 થી ભાગાકાર કરવાથી -3 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

11 નો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

-4 નો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

-\frac{11}{3}, x પદના ગુણાંકને, -\frac{11}{6} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{11}{6} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{11}{6} નો વર્ગ કાઢો.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{121}{36} માં \frac{4}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

અવયવ y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

સરળ બનાવો.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{11}{6} ઍડ કરો.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$