10k^2+9k-1=0 ઉકેલો

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

k માટે ઉકેલો

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0.1$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 10k^{2}+ak+bk-1 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઘનાત્મક હોવાથી, ઘનાત્મક સંખ્યામાં ઋણાત્મક કરતાં વધુ સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -10 આપે છે.

$$-1,10 -2,5$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો 9 આપે છે.

$$a=-1 b=10$$

10k^{2}+9k-1 ને \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

10k^{2}-k માં k ના અવયવ પાડો.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ 10k-1 ના અવયવ પાડો.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, 10k-1=0 અને k+1=0 ઉકેલો.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 10 ને, b માટે 9 ને, અને c માટે -1 ને બદલીને મૂકો.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

વર્ગ 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

10 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

-1 ને -40 વાર ગુણાકાર કરો.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

40 માં 81 ઍડ કરો.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

121 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

10 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

હવે k=\frac{-9±11}{20} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 11 માં -9 ઍડ કરો.

$$k=\frac{2}{20}$$

2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{2}{20} ને ઘટાડો.

$$k=\frac{1}{10}$$

હવે k=\frac{-9±11}{20} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -9 માંથી 11 ને ઘટાડો.

$$k=-\frac{20}{20}$$

-20 નો 20 થી ભાગાકાર કરો.

$$k=-1$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 1 ઍડ કરો.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

સ્વયંમાંથી -1 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

0 માંથી -1 ને ઘટાડો.

$$10k^{2}+9k=1$$

બન્ને બાજુનો 10 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

10 થી ભાગાકાર કરવાથી 10 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

\frac{9}{10}, x પદના ગુણાંકને, \frac{9}{20} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી \frac{9}{20} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને \frac{9}{20} નો વર્ગ કાઢો.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{81}{400} માં \frac{1}{10} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

અવયવ k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

સરળ બનાવો.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{9}{20} નો ઘટાડો કરો.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$