-x^2+45x-200=124 ઉકેલો

$$- { x }^{ 2 } +45x-200=124$$

x માટે ઉકેલો

$$x=9$$

$$x=36$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

બન્ને બાજુથી 124 ઘટાડો.

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

-324 મેળવવા માટે -200 માંથી 124 ને ઘટાડો.

$$-x^{2}+45x-324=0$$

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની -x^{2}+ax+bx-324 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=45 ab=-\left(-324\right)=324$$

ab ઘનાત્મક હોવાથી, a અને b સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઘનાત્મક હોવાથી, બંને a અને b ઘનાત્મક છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન 324 આપે છે.

$$1,324 2,162 3,108 4,81 6,54 9,36 12,27 18,18$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$1+324=325 2+162=164 3+108=111 4+81=85 6+54=60 9+36=45 12+27=39 18+18=36$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો 45 આપે છે.

$$a=36 b=9$$

-x^{2}+45x-324 ને \left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં -x અને બીજા સમૂહમાં 9 ના અવયવ પાડો.

$$-x\left(x-36\right)+9\left(x-36\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ x-36 ના અવયવ પાડો.

$$\left(x-36\right)\left(-x+9\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, x-36=0 અને -x+9=0 ઉકેલો.

$$x=36 x=9$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$-x^{2}+45x-200=124$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 124 નો ઘટાડો કરો.

$$-x^{2}+45x-200-124=124-124$$

સ્વયંમાંથી 124 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

-200 માંથી 124 ને ઘટાડો.

$$-x^{2}+45x-324=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે -1 ને, b માટે 45 ને, અને c માટે -324 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

વર્ગ 45.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-1 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+4\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-324 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-1296}}{2\left(-1\right)}$$

-1296 માં 2025 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-45±\sqrt{729}}{2\left(-1\right)}$$

729 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-45±27}{2\left(-1\right)}$$

-1 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-45±27}{-2}$$

હવે x=\frac{-45±27}{-2} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 27 માં -45 ઍડ કરો.

$$x=-\frac{18}{-2}$$

-18 નો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=9$$

હવે x=\frac{-45±27}{-2} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -45 માંથી 27 ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{72}{-2}$$

-72 નો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=36$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=9 x=36$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+45x-200=124$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 200 ઍડ કરો.

$$-x^{2}+45x-200-\left(-200\right)=124-\left(-200\right)$$

સ્વયંમાંથી -200 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$-x^{2}+45x=124-\left(-200\right)$$

124 માંથી -200 ને ઘટાડો.

$$-x^{2}+45x=324$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{-x^{2}+45x}{-1}=\frac{324}{-1}$$

-1 થી ભાગાકાર કરવાથી -1 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}+\frac{45}{-1}x=\frac{324}{-1}$$

45 નો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x^{2}-45x=\frac{324}{-1}$$

324 નો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x^{2}-45x=-324$$

-45, x પદના ગુણાંકને, -\frac{45}{2} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{45}{2} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}-45x+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}=-324+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{45}{2} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=-324+\frac{2025}{4}$$

\frac{2025}{4} માં -324 ઍડ કરો.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=\frac{729}{4}$$

અવયવ x^{2}-45x+\frac{2025}{4}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

સરળ બનાવો.

$$x-\frac{45}{2}=\frac{27}{2} x-\frac{45}{2}=-\frac{27}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{45}{2} ઍડ કરો.

$$x=36 x=9$$