(x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6] ઉકેલો

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

x માટે ઉકેલો

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3.428571429$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

\left(x+3\right)^{2} ને વિસ્તૃત કરવા માટે દ્વિપદી પ્રમેય \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} નો ઉપયોગ કરો.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x-8\right)\left(3x+8\right) ગણતરી કરો. આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને ગુણાકારને વર્ગોના તફાવતમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. વર્ગ 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x\right)^{2} ને વિસ્તૃત કરો.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

2 ના 3 ની ગણના કરો અને 9 મેળવો.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

10x^{2} ને મેળવવા માટે x^{2} અને 9x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-55 મેળવવા માટે 9 માંથી 64 ને ઘટાડો.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-54મેળવવા માટે -55 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

x સાથે x+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

3 સાથે x^{2}+3x+6 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

બન્ને બાજુથી 3x^{2} ઘટાડો.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

7x^{2} ને મેળવવા માટે 10x^{2} અને -3x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

બન્ને બાજુથી 9x ઘટાડો.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

-3x ને મેળવવા માટે 6x અને -9x ને એકસાથે કરો.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

બન્ને બાજુથી 18 ઘટાડો.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

-72 મેળવવા માટે -54 માંથી 18 ને ઘટાડો.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 7x^{2}+ax+bx-72 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, ઋણાત્મક સંખ્યામાં ઘનાત્મક કરતાં વધારે સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -504 આપે છે.

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -3 આપે છે.

$$a=-24 b=21$$

7x^{2}-3x-72 ને \left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં x અને બીજા સમૂહમાં 3 ના અવયવ પાડો.

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ 7x-24 ના અવયવ પાડો.

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, 7x-24=0 અને x+3=0 ઉકેલો.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

\left(x+3\right)^{2} ને વિસ્તૃત કરવા માટે દ્વિપદી પ્રમેય \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} નો ઉપયોગ કરો.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x-8\right)\left(3x+8\right) ગણતરી કરો. આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને ગુણાકારને વર્ગોના તફાવતમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. વર્ગ 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x\right)^{2} ને વિસ્તૃત કરો.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

2 ના 3 ની ગણના કરો અને 9 મેળવો.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

10x^{2} ને મેળવવા માટે x^{2} અને 9x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-55 મેળવવા માટે 9 માંથી 64 ને ઘટાડો.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-54મેળવવા માટે -55 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

x સાથે x+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

3 સાથે x^{2}+3x+6 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

બન્ને બાજુથી 3x^{2} ઘટાડો.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

7x^{2} ને મેળવવા માટે 10x^{2} અને -3x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

બન્ને બાજુથી 9x ઘટાડો.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

-3x ને મેળવવા માટે 6x અને -9x ને એકસાથે કરો.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

બન્ને બાજુથી 18 ઘટાડો.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

-72 મેળવવા માટે -54 માંથી 18 ને ઘટાડો.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 7 ને, b માટે -3 ને, અને c માટે -72 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

વર્ગ -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

7 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

-72 ને -28 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

2016 માં 9 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

2025 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

-3 નો વિરોધી 3 છે.

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

7 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3±45}{14}$$

હવે x=\frac{3±45}{14} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 45 માં 3 ઍડ કરો.

$$x=\frac{48}{14}$$

2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{48}{14} ને ઘટાડો.

$$x=\frac{24}{7}$$

હવે x=\frac{3±45}{14} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 3 માંથી 45 ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{42}{14}$$

-42 નો 14 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-3$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

\left(x+3\right)^{2} ને વિસ્તૃત કરવા માટે દ્વિપદી પ્રમેય \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} નો ઉપયોગ કરો.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x-8\right)\left(3x+8\right) ગણતરી કરો. આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને ગુણાકારને વર્ગોના તફાવતમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. વર્ગ 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

\left(3x\right)^{2} ને વિસ્તૃત કરો.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

2 ના 3 ની ગણના કરો અને 9 મેળવો.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

10x^{2} ને મેળવવા માટે x^{2} અને 9x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-55 મેળવવા માટે 9 માંથી 64 ને ઘટાડો.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-54મેળવવા માટે -55 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

x સાથે x+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

3 સાથે x^{2}+3x+6 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

બન્ને બાજુથી 3x^{2} ઘટાડો.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

7x^{2} ને મેળવવા માટે 10x^{2} અને -3x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

બન્ને બાજુથી 9x ઘટાડો.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

-3x ને મેળવવા માટે 6x અને -9x ને એકસાથે કરો.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

બંને સાઇડ્સ માટે 54 ઍડ કરો.

$$7x^{2}-3x=18+54$$

72મેળવવા માટે 18 અને 54 ને ઍડ કરો.

$$7x^{2}-3x=72$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

7 થી ભાગાકાર કરવાથી 7 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

-\frac{3}{7}, x પદના ગુણાંકને, -\frac{3}{14} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{3}{14} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{3}{14} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{9}{196} માં \frac{72}{7} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

અવયવ x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

સરળ બનાવો.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{3}{14} ઍડ કરો.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$