(5x-2)^2-(3x+4)^2=0 ઉકેલો

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 3 x + 4 ) ^ { 2 } = 0$$

x માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$x=3$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

\left(5x-2\right)^{2} ને વિસ્તૃત કરવા માટે દ્વિપદી પ્રમેય \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} નો ઉપયોગ કરો.

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

\left(3x+4\right)^{2} ને વિસ્તૃત કરવા માટે દ્વિપદી પ્રમેય \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} નો ઉપયોગ કરો.

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

9x^{2}+24x+16 નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

16x^{2} ને મેળવવા માટે 25x^{2} અને -9x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

-44x ને મેળવવા માટે -20x અને -24x ને એકસાથે કરો.

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

-12 મેળવવા માટે 4 માંથી 16 ને ઘટાડો.

$$16x^{2}-44x-12=0$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$4x^{2}-11x-3=0$$

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની 4x^{2}+ax+bx-3 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-11 ab=4\left(-3\right)=-12$$

ab ઋણાત્મક હોવાથી, a અને b વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, ઋણાત્મક સંખ્યામાં ઘનાત્મક કરતાં વધારે સંપૂર્ણ મૂલ્ય છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન -12 આપે છે.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -11 આપે છે.

$$a=-12 b=1$$

4x^{2}-11x-3 ને \left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right)$$

4x^{2}-12x માં 4x ના અવયવ પાડો.

$$4x\left(x-3\right)+x-3$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ x-3 ના અવયવ પાડો.

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, x-3=0 અને 4x+1=0 ઉકેલો.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

\left(5x-2\right)^{2} ને વિસ્તૃત કરવા માટે દ્વિપદી પ્રમેય \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} નો ઉપયોગ કરો.

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

\left(3x+4\right)^{2} ને વિસ્તૃત કરવા માટે દ્વિપદી પ્રમેય \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} નો ઉપયોગ કરો.

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

9x^{2}+24x+16 નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

16x^{2} ને મેળવવા માટે 25x^{2} અને -9x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

-44x ને મેળવવા માટે -20x અને -24x ને એકસાથે કરો.

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

-12 મેળવવા માટે 4 માંથી 16 ને ઘટાડો.

$$16x^{2}-44x-12=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 16 ને, b માટે -44 ને, અને c માટે -12 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{\left(-44\right)^{2}-4\times 16\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

વર્ગ -44.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-4\times 16\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

16 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-64\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

-12 ને -64 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936+768}}{2\times 16}$$

768 માં 1936 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{2704}}{2\times 16}$$

2704 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±52}{2\times 16}$$

-44 નો વિરોધી 44 છે.

$$x=\frac{44±52}{2\times 16}$$

16 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{44±52}{32}$$

હવે x=\frac{44±52}{32} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 52 માં 44 ઍડ કરો.

$$x=\frac{96}{32}$$

96 નો 32 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=3$$

હવે x=\frac{44±52}{32} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 44 માંથી 52 ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{8}{32}$$

8 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-8}{32} ને ઘટાડો.

$$x=-\frac{1}{4}$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

\left(5x-2\right)^{2} ને વિસ્તૃત કરવા માટે દ્વિપદી પ્રમેય \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} નો ઉપયોગ કરો.

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

\left(3x+4\right)^{2} ને વિસ્તૃત કરવા માટે દ્વિપદી પ્રમેય \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} નો ઉપયોગ કરો.

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

9x^{2}+24x+16 નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

16x^{2} ને મેળવવા માટે 25x^{2} અને -9x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

-44x ને મેળવવા માટે -20x અને -24x ને એકસાથે કરો.

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

-12 મેળવવા માટે 4 માંથી 16 ને ઘટાડો.

$$16x^{2}-44x-12=0$$

બંને સાઇડ્સ માટે 12 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$16x^{2}-44x=12$$

બન્ને બાજુનો 16 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{16x^{2}-44x}{16}=\frac{12}{16}$$

16 થી ભાગાકાર કરવાથી 16 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}+\left(-\frac{44}{16}\right)x=\frac{12}{16}$$

4 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{-44}{16} ને ઘટાડો.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{12}{16}$$

4 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{12}{16} ને ઘટાડો.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{3}{4}$$

-\frac{11}{4}, x પદના ગુણાંકને, -\frac{11}{8} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{11}{8} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{11}{8} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{3}{4}+\frac{121}{64}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{121}{64} માં \frac{3}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{169}{64}$$

અવયવ x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

સરળ બનાવો.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{13}{8}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{11}{8} ઍડ કરો.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$