(23-x)^2+x^2=17^2 ઉકેલો

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

x માટે ઉકેલો

$$x=8$$

$$x=15$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

\left(23-x\right)^{2} ને વિસ્તૃત કરવા માટે દ્વિપદી પ્રમેય \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} નો ઉપયોગ કરો.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

2x^{2} ને મેળવવા માટે x^{2} અને x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

2 ના 17 ની ગણના કરો અને 289 મેળવો.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

બન્ને બાજુથી 289 ઘટાડો.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

240 મેળવવા માટે 529 માંથી 289 ને ઘટાડો.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$120-23x+x^{2}=0$$

તેને માનક ફૉર્મમાં મૂકવા માટે બહુપદી ફરી ગોઠવો. પદોને સૌથી વધુથી સૌથી ઓછા ઘાત ક્રમમાં ગોઠવો.

$$x^{2}-23x+120=0$$

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની x^{2}+ax+bx+120 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

ab ઘનાત્મક હોવાથી, a અને b સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, બંને a અને b ઋણાત્મક છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન 120 આપે છે.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -23 આપે છે.

$$a=-15 b=-8$$

x^{2}-23x+120 ને \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં x અને બીજા સમૂહમાં -8 ના અવયવ પાડો.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ x-15 ના અવયવ પાડો.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, x-15=0 અને x-8=0 ઉકેલો.

$$x=15 x=8$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

\left(23-x\right)^{2} ને વિસ્તૃત કરવા માટે દ્વિપદી પ્રમેય \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} નો ઉપયોગ કરો.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

2x^{2} ને મેળવવા માટે x^{2} અને x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

2 ના 17 ની ગણના કરો અને 289 મેળવો.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

બન્ને બાજુથી 289 ઘટાડો.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

240 મેળવવા માટે 529 માંથી 289 ને ઘટાડો.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 2 ને, b માટે -46 ને, અને c માટે 240 ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

વર્ગ -46.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

2 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

240 ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

-1920 માં 2116 ઍડ કરો.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

196 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

-46 નો વિરોધી 46 છે.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

2 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

હવે x=\frac{46±14}{4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 14 માં 46 ઍડ કરો.

$$x=\frac{60}{4}$$

60 નો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=15$$

હવે x=\frac{46±14}{4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 46 માંથી 14 ને ઘટાડો.

$$x=\frac{32}{4}$$

32 નો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=8$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$x=15 x=8$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

\left(23-x\right)^{2} ને વિસ્તૃત કરવા માટે દ્વિપદી પ્રમેય \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} નો ઉપયોગ કરો.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

2x^{2} ને મેળવવા માટે x^{2} અને x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

2 ના 17 ની ગણના કરો અને 289 મેળવો.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

બન્ને બાજુથી 529 ઘટાડો.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

-240 મેળવવા માટે 289 માંથી 529 ને ઘટાડો.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

2 થી ભાગાકાર કરવાથી 2 સાથે ગુણાકારને પૂર્વવત્ કરે છે.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

-46 નો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

-240 નો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x^{2}-23x=-120$$

-23, x પદના ગુણાંકને, -\frac{23}{2} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{23}{2} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{23}{2} નો વર્ગ કાઢો.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

\frac{529}{4} માં -120 ઍડ કરો.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

અવયવ x^{2}-23x+\frac{529}{4}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

સરળ બનાવો.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{23}{2} ઍડ કરો.

$$x=15 x=8$$