y^2-15y=-54 ઉકેલો

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

y માટે ઉકેલો

$$y=6$$

$$y=9$$

વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

બંને સાઇડ્સ માટે 54 ઍડ કરો.

$$y^{2}-15y+54=0$$

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, y^{2}-15y+54 નો અવયવ પાડવા માટે સૂત્ર y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) નો ઉપયોગ કરો. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-15 ab=54$$

ab ઘનાત્મક હોવાથી, a અને b સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, બંને a અને b ઋણાત્મક છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન 54 આપે છે.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -15 આપે છે.

$$a=-9 b=-6$$

મેળવેલ મૂલ્યો નો ઉપયોગ કરીને અવયવ પાડેલ પદાવલિ \left(y+a\right)\left(y+b\right) ને ફરીથી લખો.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, y-9=0 અને y-6=0 ઉકેલો.

$$y=9 y=6$$

સમૂહીકૃતથી વર્ગમૂળનો ઉપયોગ કરવાના પગલાઓ

બંને સાઇડ્સ માટે 54 ઍડ કરો.

$$y^{2}-15y+54=0$$

સમીકરણને ઉકેલવા માટે, સમૂહીકરણ કરીને ડાબા હાથ બાજુની અવયવ પાડો. પ્રથમ, ડાબા હાથ બાજુની y^{2}+ay+by+54 તરીકે ફરીથી લખવાની જરૂર છે. a અને b ને શોધવા માટે, ઉકેલી શકાય તે માટે સિસ્ટમ સેટ કરો.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

ab ઘનાત્મક હોવાથી, a અને b સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. a+b ઋણાત્મક હોવાથી, બંને a અને b ઋણાત્મક છે. આવી બધી પૂર્ણાંક જોડીની સૂચી બનાવો જે ઉત્પાદન 54 આપે છે.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

દરેક જોડી માટે સરવાળાની ગણતરી કરો.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

સમાધાન એ જોડી છે જે સરવાળો -15 આપે છે.

$$a=-9 b=-6$$

y^{2}-15y+54 ને \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right) તરીકે ફરીથી લખો.

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

પ્રથમ સમૂહમાં y અને બીજા સમૂહમાં -6 ના અવયવ પાડો.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય પદ y-9 ના અવયવ પાડો.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, y-9=0 અને y-6=0 ઉકેલો.

$$y=9 y=6$$

ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

ax^{2}+bx+c=0 પ્રપત્રના બધા સમીકરણો ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} નો ઉપયોગ કરી ઉકેલી શકાય છે. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર બે નિરાકરણો આપે છે, એક જ્યારે ± સરવાલો હોય અને એક જ્યારે તે બાદબાકી હોય.

$$y^{2}-15y=-54$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 54 ઍડ કરો.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

સ્વયંમાંથી -54 ઘટાડવા પર 0 બચે.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

0 માંથી -54 ને ઘટાડો.

$$y^{2}-15y+54=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 1 ને, b માટે -15 ને, અને c માટે 54 ને બદલીને મૂકો.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

વર્ગ -15.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

54 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

-216 માં 225 ઍડ કરો.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

9 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

-15 નો વિરોધી 15 છે.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

હવે y=\frac{15±3}{2} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 3 માં 15 ઍડ કરો.

$$y=\frac{18}{2}$$

18 નો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=9$$

હવે y=\frac{15±3}{2} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 15 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$y=\frac{12}{2}$$

12 નો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=6$$

સમીકરણ હવે ઉકેલાઈ ગયું છે.

$$y=9 y=6$$

વર્ગને પૂર્ણ કરવાના પગલાં

ચતુર્વર્ગીય સમીકરણ જેમ કે આ એક વર્ગને પૂર્ણ કરીને ઉકેલી શકાય છે. વર્ગને પૂર્ણ કરવા માટે, સમીકરણ પહેલા આ પ્રપત્રમાં હોવું જોઈએ : x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

-15, x પદના ગુણાંકને, -\frac{15}{2} મેળવવા માટે 2 થી ભાગાકાર કરો. પછી -\frac{15}{2} ના વર્ગને સમીકરણની બન્ને બાજુ ઍડ કરો. આ પગલું સમીકરણના ડાબા હાથ બાજુને સંપૂર્ણ વર્ગ બનાવે છે.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

અપૂર્ણાંકના ગુણક અને ભાજન બન્નેનો વર્ગ કાઢીને -\frac{15}{2} નો વર્ગ કાઢો.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

\frac{225}{4} માં -54 ઍડ કરો.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

અવયવ y^{2}-15y+\frac{225}{4}. સામાન્ય રીતે, જયારે x^{2}+bx+c એક પૂર્ણ વર્ગ હોય, ત્યારે તેનો અવયવ હંમેશાં \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} તરીકે કાઢી શકાય છે.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો વર્ગ મૂળ લો.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

સરળ બનાવો.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{15}{2} ઍડ કરો.

$$y=9 y=6$$