{l}{10x+2y=-78}{-3x-2y=-29} ઉકેલો

$$\left.\begin{array} { l } { 10 x + 2 y = - 78 } \\ { - 3 x - 2 y = - 29 } \end{array} \right\}$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{107}{7} = -15\frac{2}{7} \approx -15.285714286$$

$$y = \frac{262}{7} = 37\frac{3}{7} \approx 37.428571429$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$10x+2y=-78$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2y નો ઘટાડો કરો.

$$10x=-2y-78$$

બન્ને બાજુનો 10 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y-78\right)$$

-2y-78 ને \frac{1}{10} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, -3x-2y=-29 માં x માટે \frac{-y-39}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-3\left(-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}\right)-2y=-29$$

\frac{-y-39}{5} ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{3}{5}y+\frac{117}{5}-2y=-29$$

-2y માં \frac{3y}{5} ઍડ કરો.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{117}{5}=-29$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{117}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{262}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{7}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{262}{7}$$

x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}માં y માટે \frac{262}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{262}{7}-\frac{39}{5}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{1}{5} નો \frac{262}{7} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{262}{35}-\frac{39}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{262}{35} માં -\frac{39}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{107}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&\frac{10}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-78\right)+\frac{1}{7}\left(-29\right)\\-\frac{3}{14}\left(-78\right)-\frac{5}{7}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{107}{7}\\\frac{262}{7}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

10x અને -3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 10 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-3\times 10x-3\times 2y=-3\left(-78\right),10\left(-3\right)x+10\left(-2\right)y=10\left(-29\right)$$

સરળ બનાવો.

$$-30x-6y=234,-30x-20y=-290$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -30x-6y=234માંથી -30x-20y=-290 ને ઘટાડો.

$$-30x+30x-6y+20y=234+290$$

30x માં -30x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -30x અને 30x ને વિભાજિત કરો.

$$-6y+20y=234+290$$

20y માં -6y ઍડ કરો.

$$14y=234+290$$

290 માં 234 ઍડ કરો.

$$14y=524$$

બન્ને બાજુનો 14 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{262}{7}$$

-3x-2y=-29માં y માટે \frac{262}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-3x-2\times \frac{262}{7}=-29$$

\frac{262}{7} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-3x-\frac{524}{7}=-29$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{524}{7} ઍડ કરો.

$$-3x=\frac{321}{7}$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{107}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$