{c}{x+y=200}{10x+50y=8.000} ઉકેલો

$$\left.\begin{array} { c } { x + y = 200 } \\ { 10 x + 50 y = 8.000 } \end{array} \right\}$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{1249}{5} = 249\frac{4}{5} = 249.8$$

$$y = -\frac{249}{5} = -49\frac{4}{5} = -49.8$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+y=200,10x+50y=8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+y=200$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-y+200$$

અન્ય સમીકરણ, 10x+50y=8 માં x માટે -y+200 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$10\left(-y+200\right)+50y=8$$

-y+200 ને 10 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-10y+2000+50y=8$$

50y માં -10y ઍડ કરો.

$$40y+2000=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2000 નો ઘટાડો કરો.

$$40y=-1992$$

બન્ને બાજુનો 40 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{249}{5}$$

x=-y+200માં y માટે -\frac{249}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\left(-\frac{249}{5}\right)+200$$

-\frac{249}{5} ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{249}{5}+200$$

\frac{249}{5} માં 200 ઍડ કરો.

$$x=\frac{1249}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{1249}{5},y=-\frac{249}{5}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+y=200,10x+50y=8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\10&50\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-10}&-\frac{1}{50-10}\\-\frac{10}{50-10}&\frac{1}{50-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{1}{40}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\times 200-\frac{1}{40}\times 8\\-\frac{1}{4}\times 200+\frac{1}{40}\times 8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1249}{5}\\-\frac{249}{5}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{1249}{5},y=-\frac{249}{5}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+y=200,10x+50y=8$$

x અને 10x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 10 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$10x+10y=10\times 200,10x+50y=8$$

સરળ બનાવો.

$$10x+10y=2000,10x+50y=8$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 10x+10y=2000માંથી 10x+50y=8 ને ઘટાડો.

$$10x-10x+10y-50y=2000-8$$

-10x માં 10x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 10x અને -10x ને વિભાજિત કરો.

$$10y-50y=2000-8$$

-50y માં 10y ઍડ કરો.

$$-40y=2000-8$$

-8 માં 2000 ઍડ કરો.

$$-40y=1992$$

બન્ને બાજુનો -40 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{249}{5}$$

10x+50y=8માં y માટે -\frac{249}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$10x+50\left(-\frac{249}{5}\right)=8$$

-\frac{249}{5} ને 50 વાર ગુણાકાર કરો.

$$10x-2490=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2490 ઍડ કરો.

$$10x=2498$$

બન્ને બાજુનો 10 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1249}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{1249}{5},y=-\frac{249}{5}$$