{c}{-2(x+y)=12}{5(x+1)-4(y+3)=17} ઉકેલો

$$\left.\begin{array} { c } { - 2 ( x + y ) = 12 } \\ { 5 ( x + 1 ) - 4 ( y + 3 ) = 17 } \end{array} \right\}$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=0$$

$$y=-6$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

-6 મેળવવા માટે 12 નો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x+y=-6$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 5 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

-4 સાથે y+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+5-4y-12=17$$

-7 મેળવવા માટે 5 માંથી 12 ને ઘટાડો.

$$5x-7-4y=17$$

બંને સાઇડ્સ માટે 7 ઍડ કરો.

$$5x-4y=17+7$$

24મેળવવા માટે 17 અને 7 ને ઍડ કરો.

$$5x-4y=24$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+y=-6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-y-6$$

અન્ય સમીકરણ, 5x-4y=24 માં x માટે -y-6 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(-y-6\right)-4y=24$$

-y-6 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-5y-30-4y=24$$

-4y માં -5y ઍડ કરો.

$$-9y-30=24$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 30 ઍડ કરો.

$$-9y=54$$

બન્ને બાજુનો -9 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-6$$

x=-y-6માં y માટે -6 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\left(-6\right)-6$$

-6 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=6-6$$

6 માં -6 ઍડ કરો.

$$x=0$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=0,y=-6$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

-6 મેળવવા માટે 12 નો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x+y=-6$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 5 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

-4 સાથે y+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+5-4y-12=17$$

-7 મેળવવા માટે 5 માંથી 12 ને ઘટાડો.

$$5x-7-4y=17$$

બંને સાઇડ્સ માટે 7 ઍડ કરો.

$$5x-4y=17+7$$

24મેળવવા માટે 17 અને 7 ને ઍડ કરો.

$$5x-4y=24$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-5}&-\frac{1}{-4-5}\\-\frac{5}{-4-5}&\frac{1}{-4-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-6\right)+\frac{1}{9}\times 24\\\frac{5}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 24\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=0,y=-6$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

-6 મેળવવા માટે 12 નો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x+y=-6$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 5 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

-4 સાથે y+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+5-4y-12=17$$

-7 મેળવવા માટે 5 માંથી 12 ને ઘટાડો.

$$5x-7-4y=17$$

બંને સાઇડ્સ માટે 7 ઍડ કરો.

$$5x-4y=17+7$$

24મેળવવા માટે 17 અને 7 ને ઍડ કરો.

$$5x-4y=24$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

x અને 5x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5x+5y=5\left(-6\right),5x-4y=24$$

સરળ બનાવો.

$$5x+5y=-30,5x-4y=24$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 5x+5y=-30માંથી 5x-4y=24 ને ઘટાડો.

$$5x-5x+5y+4y=-30-24$$

-5x માં 5x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 5x અને -5x ને વિભાજિત કરો.

$$5y+4y=-30-24$$

4y માં 5y ઍડ કરો.

$$9y=-30-24$$

-24 માં -30 ઍડ કરો.

$$9y=-54$$

બન્ને બાજુનો 9 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-6$$

5x-4y=24માં y માટે -6 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$5x-4\left(-6\right)=24$$

-6 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5x+24=24$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 24 નો ઘટાડો કરો.

$$5x=0$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=0$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=0,y=-6$$