{c}{27/5+4/5*y=-4*x+3/5}{8*x=-8-3*y} ઉકેલો

$$\left.\begin{array} { c } { \frac { 27 } { 5 } + \frac { 4 } { 5 } \cdot y = \frac { - 4 \cdot x + 3 } { 5 } } \\ { 8 \cdot x = - 8 - 3 \cdot y } \end{array} \right\}$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=2$$

$$y=-8$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$27+4y=-4x+3$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4x ઍડ કરો.

$$27+4y+4x=3$$

બન્ને બાજુથી 27 ઘટાડો.

$$4y+4x=3-27$$

-24 મેળવવા માટે 3 માંથી 27 ને ઘટાડો.

$$4y+4x=-24$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 3y ઍડ કરો.

$$8x+3y=-8$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$4y+4x=-24$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4x નો ઘટાડો કરો.

$$4y=-4x-24$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{1}{4}\left(-4x-24\right)$$

-4x-24 ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=-x-6$$

અન્ય સમીકરણ, 3y+8x=-8 માં y માટે -x-6 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(-x-6\right)+8x=-8$$

-x-6 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-3x-18+8x=-8$$

8x માં -3x ઍડ કરો.

$$5x-18=-8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 18 ઍડ કરો.

$$5x=10$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=2$$

y=-x-6માં x માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=-2-6$$

-2 માં -6 ઍડ કરો.

$$y=-8$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-8,x=2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$27+4y=-4x+3$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4x ઍડ કરો.

$$27+4y+4x=3$$

બન્ને બાજુથી 27 ઘટાડો.

$$4y+4x=3-27$$

-24 મેળવવા માટે 3 માંથી 27 ને ઘટાડો.

$$4y+4x=-24$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 3y ઍડ કરો.

$$8x+3y=-8$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{4\times 8-4\times 3}&-\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\\-\frac{3}{4\times 8-4\times 3}&\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{20}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-24\right)-\frac{1}{5}\left(-8\right)\\-\frac{3}{20}\left(-24\right)+\frac{1}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=-8,x=2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$27+4y=-4x+3$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4x ઍડ કરો.

$$27+4y+4x=3$$

બન્ને બાજુથી 27 ઘટાડો.

$$4y+4x=3-27$$

-24 મેળવવા માટે 3 માંથી 27 ને ઘટાડો.

$$4y+4x=-24$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 3y ઍડ કરો.

$$8x+3y=-8$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

4y અને 3y ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3\times 4y+3\times 4x=3\left(-24\right),4\times 3y+4\times 8x=4\left(-8\right)$$

સરળ બનાવો.

$$12y+12x=-72,12y+32x=-32$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 12y+12x=-72માંથી 12y+32x=-32 ને ઘટાડો.

$$12y-12y+12x-32x=-72+32$$

-12y માં 12y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 12y અને -12y ને વિભાજિત કરો.

$$12x-32x=-72+32$$

-32x માં 12x ઍડ કરો.

$$-20x=-72+32$$

32 માં -72 ઍડ કરો.

$$-20x=-40$$

બન્ને બાજુનો -20 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=2$$

3y+8x=-8માં x માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$3y+8\times 2=-8$$

2 ને 8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3y+16=-8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 16 નો ઘટાડો કરો.

$$3y=-24$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-8$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-8,x=2$$