{l}{x-3y=19}{-5x+4y=-40} ઉકેલો

$$\left. \begin{array}{l}{ x - 3 y = 19 }\\{ - 5 x + 4 y = - 40 }\end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=4$$

$$y=-5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x-3y=19,-5x+4y=-40$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x-3y=19$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3y ઍડ કરો.

$$x=3y+19$$

અન્ય સમીકરણ, -5x+4y=-40 માં x માટે 3y+19 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-5\left(3y+19\right)+4y=-40$$

3y+19 ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-15y-95+4y=-40$$

4y માં -15y ઍડ કરો.

$$-11y-95=-40$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 95 ઍડ કરો.

$$-11y=55$$

બન્ને બાજુનો -11 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-5$$

x=3y+19માં y માટે -5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=3\left(-5\right)+19$$

-5 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-15+19$$

-15 માં 19 ઍડ કરો.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=-5$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x-3y=19,-5x+4y=-40$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\-40\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\-5&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-40\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-40\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{4-\left(-3\left(-5\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\-40\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{5}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\-40\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\times 19-\frac{3}{11}\left(-40\right)\\-\frac{5}{11}\times 19-\frac{1}{11}\left(-40\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=4,y=-5$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x-3y=19,-5x+4y=-40$$

x અને -5x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-5x-5\left(-3\right)y=-5\times 19,-5x+4y=-40$$

સરળ બનાવો.

$$-5x+15y=-95,-5x+4y=-40$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -5x+15y=-95માંથી -5x+4y=-40 ને ઘટાડો.

$$-5x+5x+15y-4y=-95+40$$

5x માં -5x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -5x અને 5x ને વિભાજિત કરો.

$$15y-4y=-95+40$$

-4y માં 15y ઍડ કરો.

$$11y=-95+40$$

40 માં -95 ઍડ કરો.

$$11y=-55$$

બન્ને બાજુનો 11 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-5$$

-5x+4y=-40માં y માટે -5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-5x+4\left(-5\right)=-40$$

-5 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-5x-20=-40$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 20 ઍડ કરો.

$$-5x=-20$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=-5$$