{l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x} ઉકેલો

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=1$$

$$y=-3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે 1+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$x+2y=3+3y+1$$

4મેળવવા માટે 3 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$x+2y=4+3y$$

બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$x+2y-3y=4$$

-y ને મેળવવા માટે 2y અને -3y ને એકસાથે કરો.

$$x-y=4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે 1-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8-y=2-2y+3x$$

બંને સાઇડ્સ માટે 2y ઍડ કરો.

$$8-y+2y=2+3x$$

y ને મેળવવા માટે -y અને 2y ને એકસાથે કરો.

$$8+y=2+3x$$

બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$8+y-3x=2$$

બન્ને બાજુથી 8 ઘટાડો.

$$y-3x=2-8$$

-6 મેળવવા માટે 2 માંથી 8 ને ઘટાડો.

$$y-3x=-6$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x-y=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$x=y+4$$

અન્ય સમીકરણ, -3x+y=-6 માં x માટે y+4 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

y+4 ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-3y-12+y=-6$$

y માં -3y ઍડ કરો.

$$-2y-12=-6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 12 ઍડ કરો.

$$-2y=6$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-3$$

x=y+4માં y માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-3+4$$

-3 માં 4 ઍડ કરો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=-3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે 1+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$x+2y=3+3y+1$$

4મેળવવા માટે 3 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$x+2y=4+3y$$

બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$x+2y-3y=4$$

-y ને મેળવવા માટે 2y અને -3y ને એકસાથે કરો.

$$x-y=4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે 1-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8-y=2-2y+3x$$

બંને સાઇડ્સ માટે 2y ઍડ કરો.

$$8-y+2y=2+3x$$

y ને મેળવવા માટે -y અને 2y ને એકસાથે કરો.

$$8+y=2+3x$$

બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$8+y-3x=2$$

બન્ને બાજુથી 8 ઘટાડો.

$$y-3x=2-8$$

-6 મેળવવા માટે 2 માંથી 8 ને ઘટાડો.

$$y-3x=-6$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=1,y=-3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે 1+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$x+2y=3+3y+1$$

4મેળવવા માટે 3 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$x+2y=4+3y$$

બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$x+2y-3y=4$$

-y ને મેળવવા માટે 2y અને -3y ને એકસાથે કરો.

$$x-y=4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે 1-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8-y=2-2y+3x$$

બંને સાઇડ્સ માટે 2y ઍડ કરો.

$$8-y+2y=2+3x$$

y ને મેળવવા માટે -y અને 2y ને એકસાથે કરો.

$$8+y=2+3x$$

બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$8+y-3x=2$$

બન્ને બાજુથી 8 ઘટાડો.

$$y-3x=2-8$$

-6 મેળવવા માટે 2 માંથી 8 ને ઘટાડો.

$$y-3x=-6$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

x અને -3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

સરળ બનાવો.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -3x+3y=-12માંથી -3x+y=-6 ને ઘટાડો.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

3x માં -3x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -3x અને 3x ને વિભાજિત કરો.

$$3y-y=-12+6$$

-y માં 3y ઍડ કરો.

$$2y=-12+6$$

6 માં -12 ઍડ કરો.

$$2y=-6$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-3$$

-3x+y=-6માં y માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-3x-3=-6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3 ઍડ કરો.

$$-3x=-3$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=-3$$