{l}{x+1/y+1=1/3}{x-1/y-1=1/4} ઉકેલો

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x + 1 } { y + 1 } = \frac { 1 } { 3 } }\\{ \frac { x - 1 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 4 } }\end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=5$$

$$y=17$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ y એ -1 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 3\left(y+1\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, y+1,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

3 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3=y+1$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$3x+3-y=1$$

બન્ને બાજુથી 3 ઘટાડો.

$$3x-y=1-3$$

-2 મેળવવા માટે 1 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$3x-y=-2$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ y એ 1 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 4\left(y-1\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, y-1,4 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

4 સાથે x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$4x-4=y-1$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$4x-4-y=-1$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4 ઍડ કરો.

$$4x-y=-1+4$$

3મેળવવા માટે -1 અને 4 ને ઍડ કરો.

$$4x-y=3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x-y=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$3x=y-2$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

y-2 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 4x-y=3 માં x માટે \frac{-2+y}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=3$$

\frac{-2+y}{3} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}-y=3$$

-y માં \frac{4y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{8}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{3}y=\frac{17}{3}$$

બન્ને બાજુનો 3 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=17$$

x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}માં y માટે 17 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{3}$$

17 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{17-2}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{17}{3} માં -\frac{2}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=5,y=17$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ y એ -1 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 3\left(y+1\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, y+1,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

3 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3=y+1$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$3x+3-y=1$$

બન્ને બાજુથી 3 ઘટાડો.

$$3x-y=1-3$$

-2 મેળવવા માટે 1 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$3x-y=-2$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ y એ 1 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 4\left(y-1\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, y-1,4 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

4 સાથે x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$4x-4=y-1$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$4x-4-y=-1$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4 ઍડ કરો.

$$4x-y=-1+4$$

3મેળવવા માટે -1 અને 4 ને ઍડ કરો.

$$4x-y=3$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-2\right)+3\\-4\left(-2\right)+3\times 3\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=5,y=17$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ y એ -1 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 3\left(y+1\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, y+1,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

3 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3=y+1$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$3x+3-y=1$$

બન્ને બાજુથી 3 ઘટાડો.

$$3x-y=1-3$$

-2 મેળવવા માટે 1 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$3x-y=-2$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ y એ 1 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 4\left(y-1\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, y-1,4 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

4 સાથે x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$4x-4=y-1$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$4x-4-y=-1$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4 ઍડ કરો.

$$4x-y=-1+4$$

3મેળવવા માટે -1 અને 4 ને ઍડ કરો.

$$4x-y=3$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3x-y=-2માંથી 4x-y=3 ને ઘટાડો.

$$3x-4x-y+y=-2-3$$

y માં -y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -y અને y ને વિભાજિત કરો.

$$3x-4x=-2-3$$

-4x માં 3x ઍડ કરો.

$$-x=-2-3$$

-3 માં -2 ઍડ કરો.

$$-x=-5$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=5$$

4x-y=3માં x માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$4\times 5-y=3$$

5 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$20-y=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 20 નો ઘટાડો કરો.

$$-y=-17$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=17$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=5,y=17$$