{r}{x-1=y+1}{2(y-1)=x+1} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { r } { x - 1 = y + 1 } \\ { 2 ( y - 1 ) = x + 1 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=7$$

$$y=5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$x-1-y=1$$

બંને સાઇડ્સ માટે 1 ઍડ કરો.

$$x-y=1+1$$

2મેળવવા માટે 1 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$x-y=2$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે y-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2y-2=x+1$$

બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$2y-2-x=1$$

બંને સાઇડ્સ માટે 2 ઍડ કરો.

$$2y-x=1+2$$

3મેળવવા માટે 1 અને 2 ને ઍડ કરો.

$$2y-x=3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x-y=2,-x+2y=3$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x-y=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$x=y+2$$

અન્ય સમીકરણ, -x+2y=3 માં x માટે y+2 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\left(y+2\right)+2y=3$$

y+2 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-y-2+2y=3$$

2y માં -y ઍડ કરો.

$$y-2=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2 ઍડ કરો.

$$y=5$$

x=y+2માં y માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=5+2$$

5 માં 2 ઍડ કરો.

$$x=7$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=7,y=5$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$x-1-y=1$$

બંને સાઇડ્સ માટે 1 ઍડ કરો.

$$x-y=1+1$$

2મેળવવા માટે 1 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$x-y=2$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે y-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2y-2=x+1$$

બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$2y-2-x=1$$

બંને સાઇડ્સ માટે 2 ઍડ કરો.

$$2y-x=1+2$$

3મેળવવા માટે 1 અને 2 ને ઍડ કરો.

$$2y-x=3$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x-y=2,-x+2y=3$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 2+3\\2+3\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=7,y=5$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$x-1-y=1$$

બંને સાઇડ્સ માટે 1 ઍડ કરો.

$$x-y=1+1$$

2મેળવવા માટે 1 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$x-y=2$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે y-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2y-2=x+1$$

બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$2y-2-x=1$$

બંને સાઇડ્સ માટે 2 ઍડ કરો.

$$2y-x=1+2$$

3મેળવવા માટે 1 અને 2 ને ઍડ કરો.

$$2y-x=3$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x-y=2,-x+2y=3$$

x અને -x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-x-\left(-y\right)=-2,-x+2y=3$$

સરળ બનાવો.

$$-x+y=-2,-x+2y=3$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -x+y=-2માંથી -x+2y=3 ને ઘટાડો.

$$-x+x+y-2y=-2-3$$

x માં -x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -x અને x ને વિભાજિત કરો.

$$y-2y=-2-3$$

-2y માં y ઍડ કરો.

$$-y=-2-3$$

-3 માં -2 ઍડ કરો.

$$-y=-5$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=5$$

-x+2y=3માં y માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-x+2\times 5=3$$

5 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-x+10=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 10 નો ઘટાડો કરો.

$$-x=-7$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=7$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=7,y=5$$