{r}{a+b=20}{6a+2b=20} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { r } { a + b = 20 } \\ { 6 a + 2 b = 20 } \end{array} \right.$$

a, b માટે ઉકેલો

$$a=-5$$

$$b=25$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને a ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને a માટે ઉકેલો.

$$a+b=20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી b નો ઘટાડો કરો.

$$a=-b+20$$

અન્ય સમીકરણ, 6a+2b=20 માં a માટે -b+20 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6\left(-b+20\right)+2b=20$$

-b+20 ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-6b+120+2b=20$$

2b માં -6b ઍડ કરો.

$$-4b+120=20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 120 નો ઘટાડો કરો.

$$-4b=-100$$

બન્ને બાજુનો -4 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=25$$

a=-b+20માં b માટે 25 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$a=-25+20$$

-25 માં 20 ઍડ કરો.

$$a=-5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=-5,b=25$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-6}&-\frac{1}{2-6}\\-\frac{6}{2-6}&\frac{1}{2-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\\frac{3}{2}\times 20-\frac{1}{4}\times 20\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\25\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો a અને b ને કાઢો.

$$a=-5,b=25$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

a અને 6a ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$6a+6b=6\times 20,6a+2b=20$$

સરળ બનાવો.

$$6a+6b=120,6a+2b=20$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 6a+6b=120માંથી 6a+2b=20 ને ઘટાડો.

$$6a-6a+6b-2b=120-20$$

-6a માં 6a ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 6a અને -6a ને વિભાજિત કરો.

$$6b-2b=120-20$$

-2b માં 6b ઍડ કરો.

$$4b=120-20$$

-20 માં 120 ઍડ કરો.

$$4b=100$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=25$$

6a+2b=20માં b માટે 25 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$6a+2\times 25=20$$

25 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$6a+50=20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 50 નો ઘટાડો કરો.

$$6a=-30$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=-5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=-5,b=25$$