{r}{8x+y=21}{24x-5y=23} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { r } { 8 x + y = 21 } \\ { 24 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=2$$

$$y=5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$8x+y=21$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$8x=-y+21$$

બન્ને બાજુનો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+21\right)$$

-y+21 ને \frac{1}{8} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}$$

અન્ય સમીકરણ, 24x-5y=23 માં x માટે \frac{-y+21}{8} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$24\left(-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}\right)-5y=23$$

\frac{-y+21}{8} ને 24 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-3y+63-5y=23$$

-5y માં -3y ઍડ કરો.

$$-8y+63=23$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 63 નો ઘટાડો કરો.

$$-8y=-40$$

બન્ને બાજુનો -8 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=5$$

x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}માં y માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{8}\times 5+\frac{21}{8}$$

5 ને -\frac{1}{8} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-5+21}{8}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{5}{8} માં \frac{21}{8} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2,y=5$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-24}&-\frac{1}{8\left(-5\right)-24}\\-\frac{24}{8\left(-5\right)-24}&\frac{8}{8\left(-5\right)-24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}\times 21+\frac{1}{64}\times 23\\\frac{3}{8}\times 21-\frac{1}{8}\times 23\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=2,y=5$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

8x અને 24x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 24 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 8 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$24\times 8x+24y=24\times 21,8\times 24x+8\left(-5\right)y=8\times 23$$

સરળ બનાવો.

$$192x+24y=504,192x-40y=184$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 192x+24y=504માંથી 192x-40y=184 ને ઘટાડો.

$$192x-192x+24y+40y=504-184$$

-192x માં 192x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 192x અને -192x ને વિભાજિત કરો.

$$24y+40y=504-184$$

40y માં 24y ઍડ કરો.

$$64y=504-184$$

-184 માં 504 ઍડ કરો.

$$64y=320$$

બન્ને બાજુનો 64 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=5$$

24x-5y=23માં y માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$24x-5\times 5=23$$

5 ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$24x-25=23$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 25 ઍડ કરો.

$$24x=48$$

બન્ને બાજુનો 24 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2,y=5$$