{r}{7x+2y=24}{-8x+2y=-30} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { r } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { - 8 x + 2 y = - 30 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$7x+2y=24$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2y નો ઘટાડો કરો.

$$7x=-2y+24$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

-2y+24 ને \frac{1}{7} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

અન્ય સમીકરણ, -8x+2y=-30 માં x માટે \frac{-2y+24}{7} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=-30$$

\frac{-2y+24}{7} ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{16}{7}y-\frac{192}{7}+2y=-30$$

2y માં \frac{16y}{7} ઍડ કરો.

$$\frac{30}{7}y-\frac{192}{7}=-30$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{192}{7} ઍડ કરો.

$$\frac{30}{7}y=-\frac{18}{7}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{30}{7} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{3}{5}$$

x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}માં y માટે -\frac{3}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{2}{7}\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{24}{7}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{2}{7} નો -\frac{3}{5} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{6}{35}+\frac{24}{7}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{6}{35} માં \frac{24}{7} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{18}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}&-\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{7\times 2-2\left(-8\right)}&\frac{7}{7\times 2-2\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\\\frac{4}{15}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 24-\frac{1}{15}\left(-30\right)\\\frac{4}{15}\times 24+\frac{7}{30}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 7x+2y=24માંથી -8x+2y=-30 ને ઘટાડો.

$$7x+8x+2y-2y=24+30$$

-2y માં 2y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 2y અને -2y ને વિભાજિત કરો.

$$7x+8x=24+30$$

8x માં 7x ઍડ કરો.

$$15x=24+30$$

30 માં 24 ઍડ કરો.

$$15x=54$$

બન્ને બાજુનો 15 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{18}{5}$$

-8x+2y=-30માં x માટે \frac{18}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$-8\times \frac{18}{5}+2y=-30$$

\frac{18}{5} ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{144}{5}+2y=-30$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{144}{5} ઍડ કરો.

$$2y=-\frac{6}{5}$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{3}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$