{r}{6x+8y=k}{x+y=1} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { r } { 6 x + 8 y = k } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

$$y=\frac{k}{2}-3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$6x+8y=k$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 8y નો ઘટાડો કરો.

$$6x=-8y+k$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+k\right)$$

-8y+k ને \frac{1}{6} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}$$

અન્ય સમીકરણ, x+y=1 માં x માટે -\frac{4y}{3}+\frac{k}{6} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}+y=1$$

y માં -\frac{4y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{k}{6}=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{k}{6} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{k}{6}+1$$

બન્ને બાજુનો -3 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}માં y માટે -3+\frac{k}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{4}{3}\left(\frac{k}{2}-3\right)+\frac{k}{6}$$

-3+\frac{k}{2} ને -\frac{4}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{2k}{3}+4+\frac{k}{6}$$

4-\frac{2k}{3} માં \frac{k}{6} ઍડ કરો.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-8}&-\frac{8}{6-8}\\-\frac{1}{6-8}&\frac{6}{6-8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&4\\\frac{1}{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}k+4\\\frac{1}{2}k-3\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{k}{2}+4\\\frac{k}{2}-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

6x અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$6x+8y=k,6x+6y=6$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 6x+8y=kમાંથી 6x+6y=6 ને ઘટાડો.

$$6x-6x+8y-6y=k-6$$

-6x માં 6x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 6x અને -6x ને વિભાજિત કરો.

$$8y-6y=k-6$$

-6y માં 8y ઍડ કરો.

$$2y=k-6$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

x+y=1માં y માટે \frac{k}{2}-3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x+\frac{k}{2}-3=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી -3+\frac{k}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$