{r}{5(x+5)-2(y-3)=62}{4(x-7)-(y+4)=-9} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { r } { 5 ( x + 5 ) - 2 ( y - 3 ) = 62 } \\ { 4 ( x - 7 ) - ( y + 4 ) = - 9 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=5$$

$$y=-3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(x+5\right)-2\left(y-3\right)=62,4\left(x-7\right)-\left(y+4\right)=-9$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$5\left(x+5\right)-2\left(y-3\right)=62$$

x+5 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5x+25-2\left(y-3\right)=62$$

y-3 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5x+25-2y+6=62$$

6 માં 25 ઍડ કરો.

$$5x-2y+31=62$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 31 નો ઘટાડો કરો.

$$5x-2y=31$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2y ઍડ કરો.

$$5x=2y+31$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+31\right)$$

2y+31 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{31}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, 4\left(x-7\right)-\left(y+4\right)=-9 માં x માટે \frac{2y+31}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(\frac{2}{5}y+\frac{31}{5}-7\right)-\left(y+4\right)=-9$$

-7 માં \frac{31}{5} ઍડ કરો.

$$4\left(\frac{2}{5}y-\frac{4}{5}\right)-\left(y+4\right)=-9$$

\frac{-4+2y}{5} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{8}{5}y-\frac{16}{5}-\left(y+4\right)=-9$$

y+4 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{8}{5}y-\frac{16}{5}-y-4=-9$$

-y માં \frac{8y}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{3}{5}y-\frac{16}{5}-4=-9$$

-4 માં -\frac{16}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{3}{5}y-\frac{36}{5}=-9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{36}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{3}{5}y=-\frac{9}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{3}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-3$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{31}{5}માં y માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{2}{5}\left(-3\right)+\frac{31}{5}$$

-3 ને \frac{2}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-6+31}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{6}{5} માં \frac{31}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=5,y=-3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5\left(x+5\right)-2\left(y-3\right)=62,4\left(x-7\right)-\left(y+4\right)=-9$$

પ્રથમ સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકવા માટે તેને સરળ બનાવો.

$$5\left(x+5\right)-2\left(y-3\right)=62$$

x+5 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5x+25-2\left(y-3\right)=62$$

y-3 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5x+25-2y+6=62$$

6 માં 25 ઍડ કરો.

$$5x-2y+31=62$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 31 નો ઘટાડો કરો.

$$5x-2y=31$$

બીજા સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકવા માટે તેને સરળ બનાવો.

$$4\left(x-7\right)-\left(y+4\right)=-9$$

x-7 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x-28-\left(y+4\right)=-9$$

y+4 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x-28-y-4=-9$$

-4 માં -28 ઍડ કરો.

$$4x-y-32=-9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 32 ઍડ કરો.

$$4x-y=23$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\23\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-2\\4&-1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\23\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\23\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\left(-1\right)-\left(-2\times 4\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\23\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\23\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 31+\frac{2}{3}\times 23\\-\frac{4}{3}\times 31+\frac{5}{3}\times 23\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=5,y=-3$$