{r}{3x+8y=5}{2x-2y=7} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { r } { 3 x + 8 y = 5 } \\ { 2 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=3$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+8y=5,2x-2y=7$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+8y=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 8y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-8y+5$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-8y+5\right)$$

-8y+5 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{8}{3}y+\frac{5}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 2x-2y=7 માં x માટે \frac{-8y+5}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(-\frac{8}{3}y+\frac{5}{3}\right)-2y=7$$

\frac{-8y+5}{3} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{10}{3}-2y=7$$

-2y માં -\frac{16y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{10}{3}=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{10}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{22}{3}y=\frac{11}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{22}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{1}{2}$$

x=-\frac{8}{3}y+\frac{5}{3}માં y માટે -\frac{1}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{8}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{5}{3}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{8}{3} નો -\frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{4+5}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{4}{3} માં \frac{5}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=3,y=-\frac{1}{2}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+8y=5,2x-2y=7$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&8\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&8\\2&-2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&8\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-8\times 2}&-\frac{8}{3\left(-2\right)-8\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-2\right)-8\times 2}&\frac{3}{3\left(-2\right)-8\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 5+\frac{4}{11}\times 7\\\frac{1}{11}\times 5-\frac{3}{22}\times 7\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=3,y=-\frac{1}{2}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+8y=5,2x-2y=7$$

3x અને 2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\times 3x+2\times 8y=2\times 5,3\times 2x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

સરળ બનાવો.

$$6x+16y=10,6x-6y=21$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 6x+16y=10માંથી 6x-6y=21 ને ઘટાડો.

$$6x-6x+16y+6y=10-21$$

-6x માં 6x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 6x અને -6x ને વિભાજિત કરો.

$$16y+6y=10-21$$

6y માં 16y ઍડ કરો.

$$22y=10-21$$

-21 માં 10 ઍડ કરો.

$$22y=-11$$

બન્ને બાજુનો 22 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{1}{2}$$

2x-2y=7માં y માટે -\frac{1}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x-2\left(-\frac{1}{2}\right)=7$$

-\frac{1}{2} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2x+1=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 1 નો ઘટાડો કરો.

$$2x=6$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=3,y=-\frac{1}{2}$$