{r}{2(x+1)/3-y=-3}{3(x+5-y)+3x=12} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { r } { \frac { 2 ( x + 1 ) } { 3 } - y = - 3 } \\ { 3 ( x + 5 - y ) + 3 x = 12 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=2$$

$$y=5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

2 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+2-3y=-9$$

બન્ને બાજુથી 2 ઘટાડો.

$$2x-3y=-9-2$$

-11 મેળવવા માટે -9 માંથી 2 ને ઘટાડો.

$$2x-3y=-11$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x+5-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+15-3y+3x=12$$

6x ને મેળવવા માટે 3x અને 3x ને એકસાથે કરો.

$$6x+15-3y=12$$

બન્ને બાજુથી 15 ઘટાડો.

$$6x-3y=12-15$$

-3 મેળવવા માટે 12 માંથી 15 ને ઘટાડો.

$$6x-3y=-3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x-3y=-11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3y ઍડ કરો.

$$2x=3y-11$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-11\right)$$

3y-11 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 6x-3y=-3 માં x માટે \frac{3y-11}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}\right)-3y=-3$$

\frac{3y-11}{2} ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$9y-33-3y=-3$$

-3y માં 9y ઍડ કરો.

$$6y-33=-3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 33 ઍડ કરો.

$$6y=30$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=5$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}માં y માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{3}{2}\times 5-\frac{11}{2}$$

5 ને \frac{3}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{15-11}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{15}{2} માં -\frac{11}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2,y=5$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

2 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+2-3y=-9$$

બન્ને બાજુથી 2 ઘટાડો.

$$2x-3y=-9-2$$

-11 મેળવવા માટે -9 માંથી 2 ને ઘટાડો.

$$2x-3y=-11$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x+5-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+15-3y+3x=12$$

6x ને મેળવવા માટે 3x અને 3x ને એકસાથે કરો.

$$6x+15-3y=12$$

બન્ને બાજુથી 15 ઘટાડો.

$$6x-3y=12-15$$

-3 મેળવવા માટે 12 માંથી 15 ને ઘટાડો.

$$6x-3y=-3$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-11\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-\frac{1}{2}\left(-11\right)+\frac{1}{6}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=2,y=5$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

2 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+2-3y=-9$$

બન્ને બાજુથી 2 ઘટાડો.

$$2x-3y=-9-2$$

-11 મેળવવા માટે -9 માંથી 2 ને ઘટાડો.

$$2x-3y=-11$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x+5-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+15-3y+3x=12$$

6x ને મેળવવા માટે 3x અને 3x ને એકસાથે કરો.

$$6x+15-3y=12$$

બન્ને બાજુથી 15 ઘટાડો.

$$6x-3y=12-15$$

-3 મેળવવા માટે 12 માંથી 15 ને ઘટાડો.

$$6x-3y=-3$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2x-3y=-11માંથી 6x-3y=-3 ને ઘટાડો.

$$2x-6x-3y+3y=-11+3$$

3y માં -3y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -3y અને 3y ને વિભાજિત કરો.

$$2x-6x=-11+3$$

-6x માં 2x ઍડ કરો.

$$-4x=-11+3$$

3 માં -11 ઍડ કરો.

$$-4x=-8$$

બન્ને બાજુનો -4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=2$$

6x-3y=-3માં x માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$6\times 2-3y=-3$$

2 ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$12-3y=-3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 12 નો ઘટાડો કરો.

$$-3y=-15$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2,y=5$$