{l}{y=x+1500}{0.06x+0.10y=1070} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 1500 } \\ { 0.06 x + 0.10 y = 1070 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=5750$$

$$y=7250$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$y-x=1500$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y-x=1500,0.1y+0.06x=1070$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$y-x=1500$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ x ઍડ કરો.

$$y=x+1500$$

અન્ય સમીકરણ, 0.1y+0.06x=1070 માં y માટે x+1500 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$0.1\left(x+1500\right)+0.06x=1070$$

x+1500 ને 0.1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$0.1x+150+0.06x=1070$$

\frac{3x}{50} માં \frac{x}{10} ઍડ કરો.

$$0.16x+150=1070$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 150 નો ઘટાડો કરો.

$$0.16x=920$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો 0.16 થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=5750$$

y=x+1500માં x માટે 5750 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=5750+1500$$

5750 માં 1500 ઍડ કરો.

$$y=7250$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=7250,x=5750$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$y-x=1500$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y-x=1500,0.1y+0.06x=1070$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.06}{0.06-\left(-0.1\right)}&-\frac{-1}{0.06-\left(-0.1\right)}\\-\frac{0.1}{0.06-\left(-0.1\right)}&\frac{1}{0.06-\left(-0.1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.375&6.25\\-0.625&6.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.375\times 1500+6.25\times 1070\\-0.625\times 1500+6.25\times 1070\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7250\\5750\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=7250,x=5750$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$y-x=1500$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y-x=1500,0.1y+0.06x=1070$$

y અને \frac{y}{10} ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 0.1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$0.1y+0.1\left(-1\right)x=0.1\times 1500,0.1y+0.06x=1070$$

સરળ બનાવો.

$$0.1y-0.1x=150,0.1y+0.06x=1070$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 0.1y-0.1x=150માંથી 0.1y+0.06x=1070 ને ઘટાડો.

$$0.1y-0.1y-0.1x-0.06x=150-1070$$

-\frac{y}{10} માં \frac{y}{10} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો \frac{y}{10} અને -\frac{y}{10} ને વિભાજિત કરો.

$$-0.1x-0.06x=150-1070$$

-\frac{3x}{50} માં -\frac{x}{10} ઍડ કરો.

$$-0.16x=150-1070$$

-1070 માં 150 ઍડ કરો.

$$-0.16x=-920$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -0.16 થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=5750$$

0.1y+0.06x=1070માં x માટે 5750 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$0.1y+0.06\times 5750=1070$$

5750 ને 0.06 વાર ગુણાકાર કરો.

$$0.1y+345=1070$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 345 નો ઘટાડો કરો.

$$0.1y=725$$

બન્ને બાજુનો 10 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=7250$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=7250,x=5750$$