{l}{y=x+1}{y=3x+2} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 1 } \\ { y = 3 x + 2 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$y-x=1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$y-3x=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y-x=1,y-3x=2$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$y-x=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ x ઍડ કરો.

$$y=x+1$$

અન્ય સમીકરણ, y-3x=2 માં y માટે x+1 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+1-3x=2$$

-3x માં x ઍડ કરો.

$$-2x+1=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 1 નો ઘટાડો કરો.

$$-2x=1$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{2}$$

y=x+1માં x માટે -\frac{1}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

-\frac{1}{2} માં 1 ઍડ કરો.

$$y=\frac{1}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=\frac{1}{2},x=-\frac{1}{2}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$y-x=1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$y-3x=2$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y-x=1,y-3x=2$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-1\right)}&\frac{1}{-3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=\frac{1}{2},x=-\frac{1}{2}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$y-x=1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$y-3x=2$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y-x=1,y-3x=2$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી y-x=1માંથી y-3x=2 ને ઘટાડો.

$$y-y-x+3x=1-2$$

-y માં y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો y અને -y ને વિભાજિત કરો.

$$-x+3x=1-2$$

3x માં -x ઍડ કરો.

$$2x=1-2$$

-2 માં 1 ઍડ કરો.

$$2x=-1$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{2}$$

y-3x=2માં x માટે -\frac{1}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y-3\left(-\frac{1}{2}\right)=2$$

-\frac{1}{2} ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y+\frac{3}{2}=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{3}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$y=\frac{1}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=\frac{1}{2},x=-\frac{1}{2}$$