{l}{y=3x+1}{y=6x+4} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x + 1 } \\ { y = 6 x + 4 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=-1$$

$$y=-2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$y-3x=1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 6x ઘટાડો.

$$y-6x=4$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y-3x=1,y-6x=4$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$y-3x=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3x ઍડ કરો.

$$y=3x+1$$

અન્ય સમીકરણ, y-6x=4 માં y માટે 3x+1 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+1-6x=4$$

-6x માં 3x ઍડ કરો.

$$-3x+1=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 1 નો ઘટાડો કરો.

$$-3x=3$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-1$$

y=3x+1માં x માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=3\left(-1\right)+1$$

-1 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=-3+1$$

-3 માં 1 ઍડ કરો.

$$y=-2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-2,x=-1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$y-3x=1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 6x ઘટાડો.

$$y-6x=4$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y-3x=1,y-6x=4$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-6-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-6-\left(-3\right)}&\frac{1}{-6-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-4\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=-2,x=-1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$y-3x=1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 6x ઘટાડો.

$$y-6x=4$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y-3x=1,y-6x=4$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી y-3x=1માંથી y-6x=4 ને ઘટાડો.

$$y-y-3x+6x=1-4$$

-y માં y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો y અને -y ને વિભાજિત કરો.

$$-3x+6x=1-4$$

6x માં -3x ઍડ કરો.

$$3x=1-4$$

-4 માં 1 ઍડ કરો.

$$3x=-3$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-1$$

y-6x=4માં x માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y-6\left(-1\right)=4$$

-1 ને -6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y+6=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6 નો ઘટાડો કરો.

$$y=-2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-2,x=-1$$