{l}{y=2x-1}{y=4x-5} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 1 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=2$$

$$y=3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$y-2x=-1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 4x ઘટાડો.

$$y-4x=-5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y-2x=-1,y-4x=-5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$y-2x=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2x ઍડ કરો.

$$y=2x-1$$

અન્ય સમીકરણ, y-4x=-5 માં y માટે 2x-1 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x-1-4x=-5$$

-4x માં 2x ઍડ કરો.

$$-2x-1=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 1 ઍડ કરો.

$$-2x=-4$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=2$$

y=2x-1માં x માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=2\times 2-1$$

2 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=4-1$$

4 માં -1 ઍડ કરો.

$$y=3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=3,x=2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$y-2x=-1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 4x ઘટાડો.

$$y-4x=-5$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y-2x=-1,y-4x=-5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-4-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-2\right)}&\frac{1}{-4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-1\right)-\left(-5\right)\\\frac{1}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{2}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=3,x=2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$y-2x=-1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 4x ઘટાડો.

$$y-4x=-5$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y-2x=-1,y-4x=-5$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી y-2x=-1માંથી y-4x=-5 ને ઘટાડો.

$$y-y-2x+4x=-1+5$$

-y માં y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો y અને -y ને વિભાજિત કરો.

$$-2x+4x=-1+5$$

4x માં -2x ઍડ કરો.

$$2x=-1+5$$

5 માં -1 ઍડ કરો.

$$2x=4$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=2$$

y-4x=-5માં x માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y-4\times 2=-5$$

2 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y-8=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 8 ઍડ કરો.

$$y=3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=3,x=2$$