{l}{y=2x+3}{y=1/3x-2} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 3 } \\ { y = \frac { 1 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=-3$$

$$y=-3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$y-2x=3$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{1}{3}x ઘટાડો.

$$y-\frac{1}{3}x=-2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y-2x=3,y-\frac{1}{3}x=-2$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$y-2x=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2x ઍડ કરો.

$$y=2x+3$$

અન્ય સમીકરણ, y-\frac{1}{3}x=-2 માં y માટે 2x+3 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x+3-\frac{1}{3}x=-2$$

-\frac{x}{3} માં 2x ઍડ કરો.

$$\frac{5}{3}x+3=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3 નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{5}{3}x=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{5}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=-3$$

y=2x+3માં x માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=2\left(-3\right)+3$$

-3 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=-6+3$$

-6 માં 3 ઍડ કરો.

$$y=-3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-3,x=-3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$y-2x=3$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{1}{3}x ઘટાડો.

$$y-\frac{1}{3}x=-2$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y-2x=3,y-\frac{1}{3}x=-2$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-\frac{1}{3}-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{3}-\left(-2\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{3}-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{6}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 3+\frac{6}{5}\left(-2\right)\\-\frac{3}{5}\times 3+\frac{3}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=-3,x=-3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$y-2x=3$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{1}{3}x ઘટાડો.

$$y-\frac{1}{3}x=-2$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y-2x=3,y-\frac{1}{3}x=-2$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી y-2x=3માંથી y-\frac{1}{3}x=-2 ને ઘટાડો.

$$y-y-2x+\frac{1}{3}x=3+2$$

-y માં y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો y અને -y ને વિભાજિત કરો.

$$-2x+\frac{1}{3}x=3+2$$

\frac{x}{3} માં -2x ઍડ કરો.

$$-\frac{5}{3}x=3+2$$

2 માં 3 ઍડ કરો.

$$-\frac{5}{3}x=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{5}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=-3$$

y-\frac{1}{3}x=-2માં x માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y-\frac{1}{3}\left(-3\right)=-2$$

-3 ને -\frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y+1=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 1 નો ઘટાડો કરો.

$$y=-3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-3,x=-3$$