{l}{y=-4x-3}{y=x+2} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 4 x - 3 } \\ { y = x + 2 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=-1$$

$$y=1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 4x ઍડ કરો.

$$y+4x=-3$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$y-x=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y+4x=-3,y-x=2$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$y+4x=-3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4x નો ઘટાડો કરો.

$$y=-4x-3$$

અન્ય સમીકરણ, y-x=2 માં y માટે -4x-3 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-4x-3-x=2$$

-x માં -4x ઍડ કરો.

$$-5x-3=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3 ઍડ કરો.

$$-5x=5$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-1$$

y=-4x-3માં x માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=-4\left(-1\right)-3$$

-1 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=4-3$$

4 માં -3 ઍડ કરો.

$$y=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=1,x=-1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 4x ઍડ કરો.

$$y+4x=-3$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$y-x=2$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y+4x=-3,y-x=2$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-4}&-\frac{4}{-1-4}\\-\frac{1}{-1-4}&\frac{1}{-1-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{4}{5}\times 2\\\frac{1}{5}\left(-3\right)-\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=1,x=-1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 4x ઍડ કરો.

$$y+4x=-3$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$y-x=2$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y+4x=-3,y-x=2$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી y+4x=-3માંથી y-x=2 ને ઘટાડો.

$$y-y+4x+x=-3-2$$

-y માં y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો y અને -y ને વિભાજિત કરો.

$$4x+x=-3-2$$

x માં 4x ઍડ કરો.

$$5x=-3-2$$

-2 માં -3 ઍડ કરો.

$$5x=-5$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-1$$

y-x=2માં x માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y-\left(-1\right)=2$$

-1 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y+1=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 1 નો ઘટાડો કરો.

$$y=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=1,x=-1$$