{l}{y=-3x-17}{3y=3x+9} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 3 x - 17 } \\ { 3 y = 3 x + 9 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=-5$$

$$y=-2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 3x ઍડ કરો.

$$y+3x=-17$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$3y-3x=9$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y+3x=-17,3y-3x=9$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$y+3x=-17$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3x નો ઘટાડો કરો.

$$y=-3x-17$$

અન્ય સમીકરણ, 3y-3x=9 માં y માટે -3x-17 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(-3x-17\right)-3x=9$$

-3x-17 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-9x-51-3x=9$$

-3x માં -9x ઍડ કરો.

$$-12x-51=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 51 ઍડ કરો.

$$-12x=60$$

બન્ને બાજુનો -12 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-5$$

y=-3x-17માં x માટે -5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=-3\left(-5\right)-17$$

-5 ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=15-17$$

15 માં -17 ઍડ કરો.

$$y=-2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-2,x=-5$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 3x ઍડ કરો.

$$y+3x=-17$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$3y-3x=9$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y+3x=-17,3y-3x=9$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-3\times 3}&-\frac{3}{-3-3\times 3}\\-\frac{3}{-3-3\times 3}&\frac{1}{-3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-17\right)+\frac{1}{4}\times 9\\\frac{1}{4}\left(-17\right)-\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=-2,x=-5$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 3x ઍડ કરો.

$$y+3x=-17$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$3y-3x=9$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y+3x=-17,3y-3x=9$$

y અને 3y ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3y+3\times 3x=3\left(-17\right),3y-3x=9$$

સરળ બનાવો.

$$3y+9x=-51,3y-3x=9$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3y+9x=-51માંથી 3y-3x=9 ને ઘટાડો.

$$3y-3y+9x+3x=-51-9$$

-3y માં 3y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3y અને -3y ને વિભાજિત કરો.

$$9x+3x=-51-9$$

3x માં 9x ઍડ કરો.

$$12x=-51-9$$

-9 માં -51 ઍડ કરો.

$$12x=-60$$

બન્ને બાજુનો 12 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-5$$

3y-3x=9માં x માટે -5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$3y-3\left(-5\right)=9$$

-5 ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3y+15=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 15 નો ઘટાડો કરો.

$$3y=-6$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-2,x=-5$$